Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 8 sur 8

Démonstration d'une inégalité.



  1. #1
    kronoss

    Démonstration d'une inégalité.


    ------

    Bonjour,

    Cela commence à faire un petit bout de temps que je me creuse les méninges pour démontrer l'égalité suivante :
    xy <= xlnx + exp(y-1)
    avec x>0
    y quelconque.

    J'ai essayé en partant de y-1 et de passer à l'exponentionnel, je suis pas très loin de l'inégalité à chaque, mais je ne tombe jamais exactement dessus.

    Quelqu'un aurait-il un indice pour m'aider ? Y a-t-il une subtilité que je n'aurais pas vue ?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    rvz

    Re : Démonstration d'une inégalité.

    Bonjour,

    Si tu veux démontrer ça, tu peux par exemple essayer de calculer la fonction convexe conjuguée du logarithme : (f(x) = x ln(x))
    Pour tout p, tu définis .
    Tu peux calculer cette fonction explicitement. Ca devrait te redonner la fonction . (ça marche, je viens de vérifier)
    Dans ce cas, tu auras alors pour tout p et x,

    et f* est bien sûr la plus petite fonction qui vérifie ça.
    Tu as même le résultat suivant : Egalité ssi y = ln(x)+1, (il suffit de bien regarder les calculs)

    Cette théorie a été développée par Rockafellar, et elle est souvent associée à l'analyse convexe. Repose essentiellement sur Hahn Banach en dimension infinie, et est assez facile en dimension finie (à condition de ne pas s'emmêler les pinceaux).

    Sinon, l'autre méthode consiste à étudier la fonction et vérifier son signe, mais c'est moins beau, moins efficace et plus calculatoire.

    __
    rvz, qui préfére clairement la première méthode

  4. #3
    chwebij

    Re : Démonstration d'une inégalité.

    bonjour,
    j'ai plutot utilisé du bricolage

    bon ba je me suis lancé
    car x est non nul
    et on peut faire et avec

    on a alors
    on a
    donc il faut etudier la fonction

  5. #4
    rvz

    Re : Démonstration d'une inégalité.

    Joli.
    Et habile.

    __
    rvz

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    kronoss

    Re : Démonstration d'une inégalité.

    Pour reprendre l'explication de chwebij, quand on étudie la fonction, on a toujours f(t)>0. Donc on perd le cas d'égalité non ?

    Et j'ai pas très bien compris d'où provient la première ligne...

    Quant à l'explication de rvz, je n'y aurais vraiment pas pensée, mais c'est une belle démo !

  8. #6
    rvz

    Re : Démonstration d'une inégalité.

    Non. En fait, f(-1) = -e + e = 0.

    On retrouve bien le cas d'égalité annoncé.
    __
    rvz

  9. Publicité
  10. #7
    kronoss

    Re : Démonstration d'une inégalité.

    Erreur de lecture de ma part. J'avais pas vu la différence entre ce qui est en indice et ce qui n'y est pas. Maintenant, j'ai tout compris
    Dernière modification par kronoss ; 20/06/2006 à 22h15.

  11. #8
    kronoss

    Re : Démonstration d'une inégalité.

    Donc f supérieur ou égal à zéro, dc tjs l'égalité. Ok.
    Dernière modification par kronoss ; 20/06/2006 à 22h32.

Discussions similaires

  1. [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité
    Par Valenten dans le forum Physique
    Réponses: 16
    Dernier message: 21/12/2007, 00h16
  2. Démonstration Inégalité Triangulaire
    Par devilsadvocate dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 06/11/2007, 21h05
  3. Défi d'une inégalité sympa
    Par MMu dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 16/02/2007, 15h56
  4. démonstration d'une asymptote
    Par Rayure dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 4
    Dernier message: 05/11/2006, 13h30
  5. Démonstration d'une implication
    Par prgasp77 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 30/11/2005, 14h47