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[Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité



  1. #1
    Valenten

    Question [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité


    ------

    (limite des maths ...)

    Salut à tous !

    Je cherche à démontrer que l'inégalité suivante est vraie :

    (sachant qu'on mélange deux corps de masses a et b, et de température T1 et T2 - d'où T3, la température finale, est telle que T1<T3<T2 ou bien T2<T3<T1 : il n'y a pas de conditions sur T1 et T2)

    nb : vu que c'est en kelvins, T1, T2 et T3 sont positives ^^

    L'inégalité, donc :

    Code:
        a * ln(T1) + b * ln(T2)
    T3 > -----------------------
               a + b
    j'ai donc tout d'abord multiplié chaque membre de l'inégalité par (a+b), puis développé le membre de gauche.

    Ensuite, j'ai séparé deux cas : (parce que ln est croissante, donc il faut différencier T1 < T2 et T2 < T1)

    - T1 < T2

    >> je factorise à gauche par a et à droite par b , en déplaçant les termes adéquats à gauche et à droite.

    en utilisant la formule : ln a - ln b = ln a/b

    je trouve :

    a * ln(T3/T1) > b*ln(T2/T3)

    ce qui est vrai puisque T3/T1 > 1 et que T2/T3 < 1 (car T1 < T2)

    - T2 < T1

    << même principe sauf que l'on factorise à gauche par b et à droite par a. >>

    ----------------

    j'ai bien démontré que l'inégalité initiale était vraie, n'est-ce pas ?

    Dans le cas contraire, si vous pouvez me donner une astuce (enfin un indice, etc..) ce serait cool !

    merci d'av pr vos réponses,


    Crdlt,

    Val'

    -----
    Fan de Dark Ambient ?

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  3. #2
    Valenten

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Ooops erreur...

    "T3/T1 > 1 et que T2/T3 < 1"

    non je me suis trompé...
    he bien si vous avez des indices ce serait cool parce que là je vois pas ce que je peux faire d'autre,

    merci d'av, @+
    Fan de Dark Ambient ?

  4. #3
    Valenten

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    // Est-ce qu'un modo peut transférer ça dans le forum maths :s ? merci //
    Fan de Dark Ambient ?

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Ta formule ne tient pas la route, indépendamment de toutes mathématiques.
    Elle n'est pas homogène ; suppose que tu changes d'échelle de température et que tu multiplies T1 et T2 par 100. Alors tu vois que le terme de droite augmente de ln(100) tandis que celui de gauche devrait être multiplié par 100.
    Ca ne colle pas.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    The Artist

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Oui en effet le 1er terme est homogène à une température (en
    Kelvins) et le 2ème est sans dimension ([M]*[1]+ [M]*1)/([M]+[M])=[1]
    [T]=[1]
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

  8. #6
    Valenten

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Ecoutez, je vais vérifier, mais elle sort de mon cours de thermo je crois... ^^
    Fan de Dark Ambient ?

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  10. #7
    Valenten

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Citation Envoyé par The Artist Voir le message
    Oui en effet le 1er terme est homogène à une température (en
    Kelvins) et le 2ème est sans dimension ([M]*[1]+ [M]*1)/([M]+[M])=[1]
    [T]=[1]
    Pour info, le logarithme népérien d'une température est une température...

    J'ai vérifié, c'est la bonne formule.

    Quelqu'un peut m'aider svp ?
    Fan de Dark Ambient ?

  11. #8
    pbord

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Bonjour,

    Je ne comprend pas certaines de tes étapes de raisonnement :

    >> je factorise à gauche par a et à droite par b , en déplaçant les termes adéquats à gauche et à droite.

    en utilisant la formule : ln a - ln b = ln a/b

    je trouve :

    a * ln(T3/T1) > b*ln(T2/T3)
    Ca ne va pas, tu as remplacé T3 par ln(T3) par rapport à ta formule initial.

    je trouve :

    a * ln(T3/T1) > b*ln(T2/T3)

    ce qui est vrai puisque T3/T1 > 1 et que T2/T3 < 1 (car T1 < T2)
    Pas forcément, si a et b sont tous deux négatifs, le premier terme sera négatif, et le second positif...

  12. #9
    Duke Alchemist

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par Thor HDA Voir le message
    Pour info, le logarithme népérien d'une température est une température...

    J'ai vérifié, c'est la bonne formule.
    C'est très surprenant ça!...
    Alors ln(T1/T2) est sans dimension (puisque ce qu'il y a entre parenthèses est sans dimension) et ln(T1)-ln(T2) serait homogène à une température ?

    Duke.

    PS : Une piste : Ne faudrait-il pas exprimer ln(T3) et dire que T3>ln(T3).
    ln(T3) est dans l'intervalle [ln(T1):ln(T2)].
    La moyenne des extrémités est dans cet intervalle...
    a et b sont-ils positifs ?

  13. #10
    Magnétar

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Bonsoir,

    on mélange deux corps de masses a et b
    donc a et b sont positifs (enfin j'espère).

  14. #11
    Rincevent

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    bonsoir,

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    C'est très surprenant ça!...
    plus que surprenant, c'est faux...

    le logarithme ne s'applique qu'aux nombres purs. Quand on prend le logarithme d'une température T, ça veut dire qu'on calcule le logarithme de T/T_0 où T_0 est une échelle choisie.

    Alors ln(T1/T2) est sans dimension (puisque ce qu'il y a entre parenthèses est sans dimension) et ln(T1)-ln(T2) serait homogène à une température ?
    non

    pour ce qui est du reste du fil, pas le temps ni le courage de regarder... mais pour ce qui est de la dimension du logarithme, j'en suis certain...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  15. #12
    Duke Alchemist

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Bonjour.
    Citation Envoyé par Magnétar Voir le message
    a et b sont-ils positifs ?
    donc a et b sont positifs (enfin j'espère).
    Ben oui forcément... je n'avais pas relu l'énoncé et je suis parti de la remarque de pbord.

    Citation Envoyé par Rincevent
    C'est très surprenant ça!...
    plus que surprenant, c'est faux...

    le logarithme ne s'applique qu'aux nombres purs. Quand on prend le logarithme d'une température T, ça veut dire qu'on calcule le logarithme de T/T_0 où T_0 est une échelle choisie.
    J'en étais persuadé en fait

    Citation Envoyé par Rincevent
    Alors ln(T1/T2) est sans dimension (puisque ce qu'il y a entre parenthèses est sans dimension) et ln(T1)-ln(T2) serait homogène à une température ?
    non
    ...mais pour ce qui est de la dimension du logarithme, j'en suis certain...
    Ma question était là pour montrer la contradiction, si si !

    Duke.

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  17. #13
    Valenten

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    PS : Une piste : Ne faudrait-il pas exprimer ln(T3) et dire que T3>ln(T3).
    ln(T3) est dans l'intervalle [ln(T1):ln(T2)].
    La moyenne des extrémités est dans cet intervalle...
    a et b sont-ils positifs ?
    Tu peux préciser un peu ta remarque ? J'ai cherché rapidement et je ne vois pas trop trop comment tu peux à partir de ça obtenir une relation entre T3 et la " moyenne 'pondérée' " à droite dans l'inégalité.

    au temps pour moi pour le ln d'une Température.
    Fan de Dark Ambient ?

  18. #14
    Valenten

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Argh dsl il y avait bien une erreur ds la formule lol



    Voici l'énoncé corrigé.


    Citation Envoyé par Thor HDA Voir le message
    Je cherche à démontrer que l'inégalité suivante est vraie :

    (sachant qu'on mélange deux corps de masses a et b, et de température T1 et T2 - d'où T3, la température finale, est telle que T1<T3<T2 ou bien T2<T3<T1 : il n'y a pas de conditions sur T1 et T2)

    nb : vu que c'est en kelvins, T1, T2 et T3 sont positives ^^

    L'inégalité, donc :

    Code:
           a * ln(T1) + b * ln(T2)
    ln T3 > -----------------------
                  a + b
    Fan de Dark Ambient ?

  19. #15
    yahou

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    C'est plus raisonnable comme ça.

    J'ai pas tout lu, mais déjà as-tu l'expression de T3 en fonction de T1,T2,a et b (manifestement il faut supposer que les deux corps ont la même capacité calorifique massique, ou plus général, considérer que a et b sont les capacités calorifiques et non les masses).

    Ensuite est-ce que la notion de convexité t'es familière ?
    Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)

  20. #16
    Valenten

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Ah oui j'avais oublié

    (et sinon convexité je connais pas mais enfin si jamais tu peux m'expliquer tout ça simplement...)

    Code:
          a * T1 + b * T2
    T3 = -----------------
              a + b
    Fan de Dark Ambient ?

  21. #17
    yahou

    Re : [Thermodynamique] Démonstration d'une inégalité

    Pour T3 c'est ok.

    Maintenant la convexité... Ou plutôt la concavité, puisque ln est concave (concave est l'opposé de convexe). Je vais réduire au minimum pour pas faire un pavé, n'hésite pas à poser des questions par la suite.

    Avertissement : le mépris total de la rigueur dans ce qui suit pourrait choquer certaines âmes sensibles. Je conseille aux plus matheux d'entre vous de détourner les yeux.

    Une fonction concave est une fonction dont la courbure est tournée vers le bas, ie qui décroît de moins en moins vite, ie de dérivée seconde négative. C'est le cas de dont la dérivée seconde est .

    A ce stade il est indispensable de faire un dessin.

    Graphiquement, ça se traduit par le fait que la fonction est toujours en dessous de ses tangentes et au dessus de ses cordes. Il suffit de tracer une tangente et une corde sur le dessin pour s'en convaincre. Si tu veux une démonstration, ça doit se trouver quelque part dans les cours de maths de premier cycle.

    C'est cette dernière propriété qui nous intéresse ici : on s'intéresse à la fonction entre et . est un point de la courbe, tandis que est un point de la corde joignant et . Et hop on a l'inégalité que tu cherches.
    Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)

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