Défi d'une inégalité sympa

**MMu** · 14/02/2007, 18h02

Soit $\text{[math]}$ une fonction bornée et deux fois dérivable sur $\text{[math]}$ .
On note :
$\text{[math]}$

Montrer que $\text{[math]}$

**epsilon0** · 14/02/2007, 22h06

Utiliser la formule de Taylor Lagrange ...

**MMu** · 14/02/2007, 23h56

Envoyé par epsilon0

Utiliser la formule de Taylor Lagrange ...

Mais encore ?!

**ericcc** · 15/02/2007, 16h47

Envoyé par MMu

Mais encore ?!

Un autre indice : si un trinôme ax²+bx+c est positif ou nul pour tout x réel, alors son discriminant est négatif ou nul.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**edpiste** · 15/02/2007, 17h05

Une solution possible (il y a peut-être plus simple) :

On peut toujours supposer (par densité) que f est à support compact K.

On fixe x0 et soit g la fonction nulle en dehors de K, définie pour x dans K par

$\text{[math]}$

Alors,

$\text{[math]}$

Comme g est convexe, on a par le second th de la moyenne

$\text{[math]}$

On a donc

$\text{[math]}$

Il ne reste plus qu'à passer au sup.

**ericcc** · 15/02/2007, 17h21

Une chose m'échappe : pourquoi g est elle convexe ? Si f = sin(x) sur K ?

**edpiste** · 15/02/2007, 17h28

g''=f''+S_2...puis revenir à la définition de S_2

**edpiste** · 15/02/2007, 17h29

au passage, il y a moyen de mettre les équations dans la couleur de fond (ça ne semble marcher que pour le texte principal)?

invite6b1e2c2e · 15/02/2007, 17h30

Salut,

Regarde la dérivée seconde de g et la définition de S_2

__
rvz

**ericcc** · 15/02/2007, 17h35

OK
Sinon on peut aussi utiliser Taylor Lagrange en 0 et utiliser la majoration de R(x) par S₂x²/2

**edpiste** · 15/02/2007, 17h55

Allez, une autre inégalité pour le sport. On pose

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Trouver la meilleure constante $\text{[math]}$ telle que

$\text{[math]}$

**GuYem** · 16/02/2007, 14h56

Envoyé par edpiste

Allez, une autre inégalité pour le sport. On pose

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Trouver la meilleure constante $\text{[math]}$ telle que

$\text{[math]}$

Tu ferais pas des epd dans les espaces de Sobolev toi ?

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