Des espaces (vectoriels,euclidiens,métriqu es) de partout

[Bleyblue]

Bonsoir,

Ces derniers mois j'ai forgé mes permières armes en algèbre linéaire et j'ai bien progressé en analyse mais je m'y perd un peu avec tous ces espaces alors si vous pouviez m'aider à mettre un peu d'ordre dans tout ça cela serait gentil.

1) Comment définissez-vous un espace euclidien ? Moi la définition que j'ai reçue c'est, définition d'un produit scalaire à l'appui :

Un espace vectoriel réel (sous entendut : nimporte lequel) muni d'un produit scalaire.

Mais j'ai vu que certains auteurs parlent d'espace euclidien seulement dans le cas de alors que, par exemple, selon la définition que j'ai donnée ci dessus :

muni du produit scalaire :



est aussi un espace euclidien

2) Définition d'un espace métrique, définition d'une distance à l'appui :

Un ensemble d'élément munis d'une distance

Mais à quoi bon les espaces métriques en analyse ?
De toute façon lorsqu'on fait de l'analyse (jusqu'a présent en tout cas) on travaille toujours dans qui est bien plus qu'un espace métrique vu qu'il s'agit d'un espace vectoriel euclidien.

Pour l'analyse complexe je suppose qu'on travaillera dans mais ceci est aussi bien plus qu'un espace métrique vu qu'il s'agit d'un espace hermitien (un produit hermitien étant une généralisation du produit scalaire mais pour les espaces vectoriels complexes)

Voilà, si vous pouviez éclairer ma lanterne sur ces deux points ça serait fort bien

merci
-----

[invitea8d97425]

Bonsoir,

Un espace préhilbertien (encore un tiens ) est un EV muni d'un produit scalaire. S'il est de dimension finie, on dit qu'il est euclidien. Du coup, Rⁿ est un bon exemple...

Les espaces métriques hors EVN (Espaces vectoriels normés, ie. muni d'une norme, celle-ci n'étant pas forcément euclidienne d'ailleurs) sont peu usités au niveau prépas, plus pour exhiber des comportements bizarres afin de nier la généralité de résultats qui sont "naturels" sur les euclidiens.

[GrisBleu]

Salut

En prepa, c ests ur que les espaces metriques ne sont pas si importants, mais ca le devient vite, si on veut rester rigoureux, lorsqu on regarde en detail la physique et les sciences de l ingenieur: les distributions (le fameux dirac par exemple) sur lesquelles sont definies proprement les transformee de laplace / fourier ne sont pas des espaces normes mais metriques (encore que je crois qu il y ait des semi normes...)

D autres exemples sont utilises dans l'ingenieurerie: lorsque tu as des objets que tu veux comparer, ils ne sont pas forcement dans R^n. Un exemple (base de donnees UCI) : il y a des donnees continues, d autres discretes, des donnees binaires, etc.
au lieu de definir une norme, il est preferable de rester sur un point de vue distance (qui permet de comparer les choses).

Fianlement, il arrive qu on munisse des espaces euclidiens de distances ne dericant pas de normes et qui permettent de meilleures performances. Ex: soient x et y deux vecteurs de , une distance est . L'interet des cette distance, c est que meme des objets tres eloignes n ont pas une distance enorme. En particulier, un algorithme base sur cette distance est relativement insensible a des donnees corrompues et dont les valeurs sont completement disproportionees par rapport aux autres, bref un algo robuste

voila, j esperes que ce te permettra de ne pas rejeter ces notions importantes

++ vlad

[Bleyblue]

voila, j esperes que ce te permettra de ne pas rejeter ces notions importantes

Ah non je ne rejette rien du tout, je m'interrogeais juste car ça me semblait un peu léger comme structure pour faire de l'analyse
Sinon les exemples d'applications en sciences ça m'est un peu égale, je m'intéresse plus aux applications que ça a en analyse

D'accord, merci pour vos explications à tous les deux. C'est déja plus clair

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Salut Byeblue.

L analyse sur , c'est limite: regarde du cote des varietes par exemple, c est un espace topologique, localement comme . De meme les distributions t offre l occasion de faire des calculs theorique sur des espaces non metrisable. Bref, y a de quoi faire or des espaces euclidiens

Sinon, les applications de l analyse sont, pour moi, la raison de l analyse. Attention au travers de la theorie pour la theorie (travers francais si il en est). Un baggae theorique costaud est necessaire pour avoir une vue aussi vaste que possible, mais au final ce qui compte c est comment tu t en sers. Encore que je ne sais pas trop ce qu en penses les chercheurs en maths purs

C est pour ca que je trouve la R&D interessante: tu es toujours au milieu de la theorie et des applications.

Ce n est que mon avis, donc je ne te critique pas, allez ciao

vlad

[Bleyblue]

Oui tu dois être physicien ou ingénieur donc tu t'intéresses plus aux applications, moi je fais juste des math parceque j'aime ça

Enfin, je vais garder en tête que si les espaces métriques ne me sont pas très utiles pour le moment ça le sera sans doute plus tard

merci !

[invite9c9b9968]

Attention cependant à la terminologie. En effet, dans certains livres, on verra que espace euclidien est le nom donné à tout espace réel muni d'une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée. L'espace devient proprement euclidien dès que cette forme devient définie positive (donc un produit-scalaire).

D'autres préfèreront parler d'espace pseudo-euclidien dans le premier cas. Bref, faire attention à la terminologie employée dans le(s) livre(s) étudié(s)

[Bleyblue]

D'accord

Mais cette généralisation (migrer de vers un espace euclidien quelconque) soulève beaucoups de question.

Est-ce que tous les théorème valable dans sont valables dans le premier sont valables dans nimporte quel espace euclidien ? La réponse donnée dans mon cours est non (justification à l'appui)

Mais si maintenant je prends un espace euclidien de dimension n et que j'arrive à montrer qu'il est isomorphe à , est-ce qu'alors les théorèmes de seront valables dans le second espace ?
Ca serait chouette comme résultat ...

merci

[Bleyblue]

Bon, ne pouvant pas réediter mon message précédant à cause d'un bug sur le forum je reposte une version plus correcte ici :
----------------------------------------------------

D'accord

Mais cette généralisation (migrer de vers un espace euclidien quelconque) soulève beaucoups de questions.

Est-ce que tous les théorèmes valables dans sont valables dans nimporte quel espace euclidien ? La réponse donnée dans mon cours est non (justification à l'appui)

Mais si maintenant je prends un espace euclidien de dimension n et que j'arrive à montrer qu'il est isomorphe à , est-ce qu'alors les théorèmes de seront valables dans le second espace ?
Ca serait chouette comme résultat ...

merci

[invite4793db90]

Salut,

Ca serait chouette comme résultat ...

Bah c'est le principe même de l'isomorphie (même strucutre).

Ce n'est d'ailleurs pas difficile de montrer l'isomorphisme entre un espace euclidien de dimension n et : c'est bien la raison pour laquelle on travaille tout le temps dans .

Juste un truc : le produit scalaire n'est pas forcément donné par la matrice identité (choix de la base).

Cordialement.

[Bleyblue]

Ah d'accord, c'est chouette

Juste un truc : le produit scalaire n'est pas forcément donné par la matrice identité (choix de la base).

tu veux dire que le produit scalaire de (x1,x2,...,xn).(y1,y2,...,yn) n'est pas forcément égale à x1.y1 + x2.y2 + ... +xn.yn ?
On m'a apprit que ce n'est valable que dans une base orthonormée de Rⁿ

merci

[invite9c9b9968]

Tout juste, dès que la base n'est plus orthonormée, ce n'est plus vrai

[GrisBleu]

Est-ce que tous les théorèmes valables dans sont valables dans nimporte quel espace euclidien ? La réponse donnée dans mon cours est non (justification à l'appui)

Salut

effectivement tu perds souvent des proprietes quand tu passes de a des espaces plus generaux (des espaces hilbertiens de dimensions infinis pas exemple). Mais tu gagnes aussi

un exemple (tire d un domaine ou c est typiquement les recherches sur les applications qui ont rendus ce domaine celebre et actif): la classification de donnees.

Si tes donnees sont des vecteurs de , comment peux tu distinguer 2 classes ? (par exemple une fonction positive sur une classe et negative sur une autre) premiere solution: un algo lineaire (affine) (ca s appelle un perceptron et ca plante tres vite). deuxieme solution, une fonction non lineaire du vecteur. Et la, peu d alog marche bien. La bonne solution consiste a envoyer tes vecteurs dans un espaces de dimension infini, et la on sait faire.

[Bleyblue]

Bah c'est le principe même de l'isomorphie (même strucutre).

C'est vrai qu'en y réfléchissant, ça coule se source ...

Si tes donnees sont des vecteurs de , comment peux tu distinguer 2 classes ? (par exemple une fonction positive sur une classe et negative sur une autre) premiere solution: un algo lineaire (affine) (ca s appelle un perceptron et ca plante tres vite). deuxieme solution, une fonction non lineaire du vecteur. Et la, peu d alog marche bien. La bonne solution consiste a envoyer tes vecteurs dans un espaces de dimension infini, et la on sait faire.

ok, merci bien !