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Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....



  1. #1
    quentinou

    Unhappy Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....


    ------

    Bonjour à tous!!
    Voilà j'ai un petit problème, soit un ensemble E qui est un K-ev et f une application linéaire de E dans E.
    Je dois prouver l'équivalence E=Imf+Kerf<=>Imf=Imf².

    Dans un premier temps je suppose donc que E=Imf+Kerf et je vais raisonner par double inclusion.
    D'abord prouver que Imf inclus dans Imf² puis montrer que Imf² inclus dans Imf.

    Mon problème est la je n'arrive pas à savoir si ma méthode est bonne et comment faire pour prouver mes inclusions, pourriez vous m'aider???

    J'ai déja trouver des pistes mais je sais pas si ça vaut quelquechose:

    On a: Imf=f(E)
    Donc: =f(imf+kerf)
    Donc: =f(imf)+kerf (car f est linéaire)
    Donc: = et je vois pas comment écrire autrement f(imf) pour pouvoir retomber sur la definition de Imf²....

    pourriez-vous m'aider???
    merci beaucoup!!!!!!!!!!!!!!

    -----

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  3. #2
    ericcc

    Re : Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

    Tu vas au devant de difficultés si tu pars comme cela.
    Remarque d'abord que Imf² est inclus dans Imf (pourquoi ?).
    Pour aller de gauche à droite. Suppose que E = Imf+Kerf, prends un vecteur u dans Imf, montre qu'il est dans Imf².
    Pour aller de droite à gauche, suppose que Imf est inclus dans Imf², et montre qu'un vecteur de E est soit dans Imf soit dans Kerf.

  4. #3
    quentinou

    Re : Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

    Voila justement le problème, ce n'est pas évident pour moi que Imf² est inclus dans Imf...

  5. #4
    ericcc

    Re : Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

    Si un vecteur v appartient à Imf², alors v=f(f(u)), donc ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    quentinou

    Re : Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

    oui la d'accord, mais je crois que je me suis trompé dans la compréhension du problème, ici le carré désigne le cartésien ou la fonction f au carré?

  8. #6
    ericcc

    Re : Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

    Le carré c'est fof !

    D'ailleurs c'est quoi pour toi le carré d'une application linéaire sinon ?

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  10. #7
    quentinou

    Re : Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

    Voila tout s'explique donc!! ben j'avoue qu'on débute sur les fonctions linéaires et je croyais betement que imf² était l'ensemble des images de f(x)².

  11. #8
    ericcc

    Re : Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

    Quand x est un vecteur, f(x) est un vecteur;ça va être difficile de trouver son carré

  12. #9
    quentinou

    Re : Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

    certes!! lol. merci beaucoup je vais essayer de monter mes démos qui donc seront beaucoup plus claires!!!

  13. #10
    quentinou

    Re : Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

    je reprends:
    soit x appartenant a Imf
    donc il existe x appratenant à E tque y=f(x)
    donc y appartien a f(Imf +Kerf)
    donc y .............a f(imf)+f(kerf)
    donc y..............a Imf² +kerf²
    donc y..............a Imf²

    C'est cohérent ou non???
    merci

  14. #11
    ericcc

    Re : Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

    Pas tout à fait. Prends y dans Imf, et non x. ALors y=f(x) avec x dans E, donc x est soit dans Imf soit dans Kerf.
    Si x est dans Imf, x=f(u), donc y=fof(u) et y est dans Imf². Si x est dans Kerf, f(x)=0 et y=0, donc dans Imf².

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