Problème sur des équivalences dans des espaces vectoriels....

[invitee5165816]

Bonjour à tous!!
Voilà j'ai un petit problème, soit un ensemble E qui est un K-ev et f une application linéaire de E dans E.
Je dois prouver l'équivalence E=Imf+Kerf<=>Imf=Imf².

Dans un premier temps je suppose donc que E=Imf+Kerf et je vais raisonner par double inclusion.
D'abord prouver que Imf inclus dans Imf² puis montrer que Imf² inclus dans Imf.

Mon problème est la je n'arrive pas à savoir si ma méthode est bonne et comment faire pour prouver mes inclusions, pourriez vous m'aider???

J'ai déja trouver des pistes mais je sais pas si ça vaut quelquechose:

On a: Imf=f(E)
Donc: =f(imf+kerf)
Donc: =f(imf)+kerf (car f est linéaire)
Donc: = et je vois pas comment écrire autrement f(imf) pour pouvoir retomber sur la definition de Imf²....

pourriez-vous m'aider???
merci beaucoup!!!!!!!!!!!!!!
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[ericcc]

Tu vas au devant de difficultés si tu pars comme cela.
Remarque d'abord que Imf² est inclus dans Imf (pourquoi ?).
Pour aller de gauche à droite. Suppose que E = Imf+Kerf, prends un vecteur u dans Imf, montre qu'il est dans Imf².
Pour aller de droite à gauche, suppose que Imf est inclus dans Imf², et montre qu'un vecteur de E est soit dans Imf soit dans Kerf.

[invitee5165816]

Voila justement le problème, ce n'est pas évident pour moi que Imf² est inclus dans Imf...

[ericcc]

Si un vecteur v appartient à Imf², alors v=f(f(u)), donc ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee5165816]

oui la d'accord, mais je crois que je me suis trompé dans la compréhension du problème, ici le carré désigne le cartésien ou la fonction f au carré?

[ericcc]

Le carré c'est fof !

D'ailleurs c'est quoi pour toi le carré d'une application linéaire sinon ?

[invitee5165816]

Voila tout s'explique donc!! ben j'avoue qu'on débute sur les fonctions linéaires et je croyais betement que imf² était l'ensemble des images de f(x)².

[ericcc]

Quand x est un vecteur, f(x) est un vecteur;ça va être difficile de trouver son carré

[invitee5165816]

certes!! lol. merci beaucoup je vais essayer de monter mes démos qui donc seront beaucoup plus claires!!!

[invitee5165816]

je reprends:
soit x appartenant a Imf
donc il existe x appratenant à E tque y=f(x)
donc y appartien a f(Imf +Kerf)
donc y .............a f(imf)+f(kerf)
donc y..............a Imf² +kerf²
donc y..............a Imf²

C'est cohérent ou non???
merci

[ericcc]

Pas tout à fait. Prends y dans Imf, et non x. ALors y=f(x) avec x dans E, donc x est soit dans Imf soit dans Kerf.
Si x est dans Imf, x=f(u), donc y=fof(u) et y est dans Imf². Si x est dans Kerf, f(x)=0 et y=0, donc dans Imf².