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Un démo sur les groupes



  1. #1
    Bleyblue

    Un démo sur les groupes


    ------

    Bonjour,

    J'ai un travail à remettre dans lequel on me demande de montrer que :

    "Si (G,*) est un groupe fini d'ordre paire alors il existe une involution dans (G,*)"

    mais je ne comprend pas pourquoi on me demande de montrer cela vu que la fonction :

    est une involution quel que soit le groupe (G,*)

    Pourquoi-est ce qu'on me demande de le montrer pour un groupe fini d'ordre paire alors ? Vous avez une idée ?

    merci !

    -----

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  3. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : Un démo sur les groupes

    ouais, bien vu! remarque que l'identité est aussi une involution, alors... peut-être manque-t-il une propriété sur le sous-groupe invariant, ou quelque-chose comme ça?

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Un démo sur les groupes

    Je ne sais pas, en tout cas la question est posée telle qu'elle donc je ne vois pas l'intérêt

    Dans le pire des cas je donne cette fonction f et je montre que c'est une involution pour tout groupe, mais c'est idiot ...

    merci

  5. #4
    rvz

    Re : Un démo sur les groupes

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    "Si (G,*) est un groupe fini d'ordre paire alors il existe une involution dans (G,*)"

    mais je ne comprend pas pourquoi on me demande de montrer cela vu que la fonction :

    est une involution quel que soit le groupe (G,*)
    Salut,

    Ce n'est pas un morphisme de groupe, puisque f(x*y) = f(y)*f(x), à moins que G soit commutatif.
    Après, si n est l'ordre de G, x^n = e, ce qui a le bon gout d'impliquer x^{n+1} = x. Je suppose que ça doit permettre de construire l'involution cherché.

    __
    rvz

  6. #5
    invite986312212
    Invité

    Re : Un démo sur les groupes

    plutôt pour n impair alors?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bleyblue

    Re : Un démo sur les groupes

    Ce n'est pas un morphisme de groupe
    Et ça doit en être un ? Moi je pensais qu'une involution c'était simplement une application G -> G telle que la composée avec elle même donne l'identité ... en tout cas c'est ce que j'ai trouver en faisait une recherche sur internet et dans le dictionnaire car nous n'avons reçu aucune définition du mot "involution" dans notre cours d'introduction à la théorie des groupes

    merci

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  10. #7
    homotopie

    Re : Un démo sur les groupes

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Après, si n est l'ordre de G, x^n = e, ce qui a le bon gout d'impliquer x^{n+1} = x. Je suppose que ça doit permettre de construire l'involution cherché.

    __
    rvz
    Bonjour,
    la 1ère remarque est pertinente (sauf si on n'impose pas à l'involution d'être un morphisme mais dans ce cas, on prend une moitié H des éléments de G, on crée une bijection de H sur G privé de H et on a ensuite très facilement une involution sans point fixe !). Mais cette rmarque s'applique aussi à cette voie (x^n) j'en ai bien peur.

    Pour ma part, j'ai une "démo" (les guillemets car elle infléchit le résultat demandé) mais pas très élémentaire.
    Je sépare cas abélien et cas non abélien.
    Le cas abélien a une involution naturelle (celle proposée par Bleyblue) sauf pour un type de groupe (qui donne d'ailleurs une exception : il existe un groupe d'ordre pair n'ayant pas d'involution stricto sensu , pour les autres il y a quand même une involution)
    Pour le cas non abélien.
    Pour tout élément x d'ordre 2^k, la conjugaison interne x...x(-1) est d'ordre une puissance de 2 (car sa puissance 2^k ème est l'identité). Deux cas : x est central, cet automorphisme est l'identité et ne convient pas. Sinon, l'ordre est 2^h avec h>1 la puissance 2^(h-1) ème convient.
    Sinon tous les 2-éléments sont centraux donc un 2-sylow est central donc est unique, de plus le 2-transfert de Burnside est surjectif, il y a un 2-complément H d'ordre m, n/m=2^k. On aboutit à G est le produit direct de H et de P2, deux sous-groupes trivialement carcatéristiques. Il faut et il suffit qu'il existe une involution de H ou une involution de P2. Si P2 est d'ordre supérieur à 4, ça existe. Si P2 est d'ordre 2 (G est encore pair) il faut et il suffit d'une involution de H.
    Le résultat n'est vrai que si le résultat est vrai aussi pour les groupes d'ordre impair.
    On a quand même déjà le résultat tout groupe d'ordre un multiple de 4 admet un morphisme involutif. Tout groupe abélien (sauf deux à iso près) admet une involution qui est aussi un morphisme.
    Trouver un contre-exemple impair me parait faisable mais non facile (je vais regarder ça).

    Cordialement

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Un démo sur les groupes

    Dites la définition d'une involution, c'est quoi en fin de compte ? Si c'est simplement une application G -> G telle que composée avec elle même elle donne l'identité alors c'est vite réglé ...

    Il pourrait définir les termes qu'il utilise le prof, ça n'a pas été vu au cours les involutions

    merci

  12. #9
    homotopie

    Re : Un démo sur les groupes

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Dites la définition d'une involution, c'est quoi en fin de compte ? Si c'est simplement une application G -> G telle que composée avec elle même elle donne l'identité alors c'est vite réglé ...

    Il pourrait définir les termes qu'il utilise le prof, ça n'a pas été vu au cours les involutions

    merci
    Re,
    un doute me tiraille tout d'un coup : n'aurions nous pas mal compris la question ? Si G est un groupe de transformation ce qui est souvent le cas alors l'involution n'est pas une application de G dans G mais un élément d'ordre 2 de G. Ca aurait un grand avantage : le résultat est alors vrai. (je cherche une démo "simple" à moins que Bleyblue, connais-tu le théorème de Sylow ? car sinon ça se règle assez vite cette question )

    Cordialement

  13. #10
    Bleyblue

    Re : Un démo sur les groupes

    Théorème de Sylow j'ai déja entendut parler mais je ne connais pas malheureusement

    Et le groupe dont il est question dans l'énoncé est quelconque. Je vais devoir demander des précisions sur ce que le prof appelle une involution je pense (fou le temps que je perd à cause d'un terme non défini, je prends note et je ressortirai ça lorsque le département me demandera mon avis sur le prof, non mais ... )

    merci bien

  14. #11
    homotopie

    Re : Un démo sur les groupes

    Re,

    j'ai moins de doute (car la 1ère manière de voir semble vraie pour G impair non réduit à {e}, sans certitude, et donc pour GxC2 mais avec du "bazooka" et je ne vois vraiment pas de preuve élémentaire, de plus il faut restreindre {e} et C2 n'admet pas de morphisme involutif non trivial ; la version "on se contente d'une application" est bien trop trivialement vraie pour être intéressante et pourquoi prendre un groupe dans ce cas ?) ça doit être la dernière version que j'ai donnée : montrer qu'il existe un élément d'ordre 2 dans tout groupe fini pair.
    Et, il y a une preuve sans "marteau-pilon".
    Eléments d'ordre 5 se répartissent dans des C5 qui ne se recoupent qu'en {e}=>sont en nombre 4xk=2(2k)
    éléments d'ordre 105 se répartissent dans des C105 qui ne se recoupent qu'en des C35 (éventuellement), C15 (éventuellement),...toujours est-il que les éléments d'ordre 105 d'un C105 sont soient tous égaux soient tous distiincts d'un autre C105, et il y a (3-1)(5-1)(7-1)=48 de ces éléments par C105.
    ...
    Total=somme des éléments d'ordre impair distincts de e+somme des éléments d'ordre pair+card({e})
    De là (en paufinant) on aboutit à somme des éléments d'ordre pair est non nul. Et avec un élément d'ordre pair, on fabrique assez aisément un élément d'ordre 2.

    Cordialement

  15. #12
    Bleyblue

    Re : Un démo sur les groupes

    Apparament le professeur voulait parler d'un élément d'ordre deux (c'était trop demander que d'inscrire élément d'ordre 2 plutôt qu'involution )

    Je vais essayer de le montrer par moi même avant de regarder ce que vous avez écrit

    merci

  16. Publicité
  17. #13
    Bleyblue

    Re : Un démo sur les groupes

    En fait comme dirait mon prof d'analyse, géométriquement c'est claire cette propriété

    Il ne me reste plus qu'a exprimer ça en français

    merci à tous

  18. #14
    ericcc

    Re : Un démo sur les groupes

    Connais tu le Théorème de Lagrange sur les Groupes ?

  19. #15
    Bleyblue

    Re : Un démo sur les groupes

    L'ordre d'un élément du groupe divise l'orde du groupe ?
    Oui mais je ne peux pas en conclure que si n divise l'ordre du groupe alors il existe un élément d'ordre n

    Mais ce n'est rien je suis parvenu à démontrer la propriété sans trop de peine, merci

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