Démo sur les suites...

[Antikhippe]

Comment démontrer le théorème suivant ?

Une suite croissante et majorée est convergente.
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[Gwyddon]

en voici une démo, mais elle est absolument affreuse donc si quelqu'un en a une plus élégante, qu'il nous la donne :

u_n est bornée, donc c'est une suite d'un segment [-M ; M ], qui est donc compact : le théorème de Bolzano-Weierstrass m'assure alors l'existence d'une extractrice f telle que u_f(n) converge vers un réel l' dans [-M ; M]

Maintenant je précise : le fait que u_n soit bornée implique qu'elle admet un sup, que je note l.
Nécessairement, j'ai u_n <= l' pour tout n ; en effet j'ai u_n <= u_f(n) car f(n) > n et u_n est croissante. Or pour tout n u_f(n) <= l' car sinon j'aurais n0 tel que u_f(n0) > l' or f est strictement croissante, donc ayant u_n croissante u_f(n) aussi et j'aurais u_f(n) >= u_f(n0) > l', donc il n'y aurait pas convergence vers l'.

Alors par définition du sup, l<= l' ; mais en fait, l' c'est le sup des u_f(n), donc si l < l', j'aurais l'existence de certains petits u_f(n) plus grand que l : aie ! vu que ce sont aussi des termes de la suite u_n, majorée par l...

Donc l=l' : u_n n'admet qu'une unique valeur d'adhérence, dans un compact, donc u_n converge vers cette valeur d'adhérence CQFD


Mais quelle démo moche !

[Antikhippe]

Ouh là ! lol

Je ne suis qu'en TS ! Mais allez-y, ça ne me fait pas peur... (un peu quand-même...) C'est de quel niveau, ce que t'as écrit ?

[invite3f53d719]

Oué alors Bolzano pour un TS, c'est un peu hard

Le problème pour cette démo, c'est que tu n'as pas la notion de borne supérieure, qui est indispensable à ma connaissance... Enfin, voila ma démo:

Soit (Un) une suite croissante majorée. On note A={Un/n€IN} (A est l'ensemble des images).

A est majorée car Un majorée, non vide, donc possède une borne supérieur notée l. On va montrer que Un tend vers l.

Soit eps>0. D'après la caractérisation de la borne sup, il existe n0€IN, tel que l-esp<U_n0<=l. On a donc |U_n0-l|<eps. Soit n>n0, on a Un>U_n0 car (Un) croissante, et donc |Un-l|<eps.

Voila, si t'as des questions n'hésites pas...

PS: La démo utilise la définition de la limite d'une suite (vu en 1ere il me semble, mais comme on ne l'utilise pas au lycée, je te la remet): pour tout eps>0, il existe un rang n0 tel que pour tout n, n>n0=>|Un-l|<eps

[A voir en vidéo sur Futura]

[Antikhippe]

Merci beaucoup pour vos réponses !

Quand tu parles de epsilon, Eric78, il s'agit bien d'une toute petite valeur positive, c'est bien ça ?

[Gwyddon]

ok c'est vrai mais je ne savais pas... C'est pourquoi je rappelle une des propositions lancée par quelqu'un dans la section boîte à idée : indiquer le niveau de la question posée, pour que l'on puisse adapter les réponses

Ce que j'ai écris est de niveau bac+1 / bac+2

Enfin, la démo d'Eric78 est bien plus brillante ! (mais HP TS il me semble, même la définition rigoureuse d'une suite n'est pas au programme, enfin je ne sais plus trop avec la réforme, mais c'était mon cas avant)

Je n'en était pas sûr, à cause des signes ! lol
mais en fait pas de problème, u_n0 -l > -eps donc u_n -l > u_n0 -l > eps

on fait basculer tout ça dans le bon sens, 0 < l - u_n < eps (c'est pour détailler le passage qui m'avait, je ne sais trop pourquoi, posé problème et qui m'avais conduit à imaginer ma solution barbare )

merci Eric78

[Gwyddon]

Merci beaucoup pour vos réponses !

Quand tu parles de epsilon, Eric78, il s'agit bien d'une toute petite valeur positive, c'est bien ça ?

non en fait c'est bien plus que ça : epsilon est AUSSI petit que l'on veut : ce n'est pas une valeur fixée petite (elle ne l'est que pour la présentation du raisonnement) mais si on voulait expliciter la conclusion rigoureuse, c'est : "pour TOUT epsilon >0 on peut trouver un n_0 tel que pour TOUT n>n_0 on ait 0<u_n - l < espilon "

[Antikhippe]

non en fait c'est bien plus que ça : epsilon est AUSSI petit que l'on veut : ce n'est pas une valeur fixée petite (elle ne l'est que pour la présentation du raisonnement)

C'est bien ce que j'avais compris, ce n'est pas une valeur fixée, mais cela désigne une toute petite quantité...

[invite3f53d719]

Quand tu parles de epsilon, Eric78, il s'agit bien d'une toute petite valeur positive, c'est bien ça ?

Oui, c'est la convention (mais epsilon n'est pas forcément petit, il l'est dans notre tête). En fait epsilon est une distance. La définition de la limite formulé de manière non formelle mais plus compréhensible donne: "A partir d'un certain rang, la distance entre Un et la limite est aussi petite que l'on veut".

Enfin ca va etre dur de refaire tout le cour de logique sur les quantificateurs sur le forum

[Antikhippe]

Oui, c'est la convention (mais epsilon n'est pas forcément petit, il l'est dans notre tête). En fait epsilon est une distance. La définition de la limite formulé de manière non formelle mais plus compréhensible donne: "A partir d'un certain rang, la distance entre Un et la limite est aussi petite que l'on veut".

Enfin ca va etre dur de refaire tout le cour de logique sur les quantificateurs sur le forum

Non, c'est bon, j'ai bien compris maintenant ce que désignait epsilon...

[Antikhippe]

(A est l'ensemble des images).

A est majorée car Un majorée

Ca se dit d'un ensemble, qu'il est majoré ??? Ou est-ce un abus de langage ?

[erik]

Oui oui ça se dit.
C'est plus simple que de dire "il existe (au moins) un A tel que tout élément x de mon ensemble vérifie x<=A"
bref l'ensemble est majoré.

[Antikhippe]

Oui oui ça se dit.
C'est plus simple que de dire "il existe (au moins) un A tel que tout élément x de mon ensemble vérifie x<=A"
bref l'ensemble est majoré.

OK, merci...

J'ai compris les grands traits de la démo d'Eric78 que je remercie encore...

J'ai une autre question : peut-on dire qu'une suite non-majorée tend vers + inf ou faut-il obligatoirement qu'elle soit en plus croissante ?

[invite3f53d719]

Oui, il faut qu'elle soit croissante: par exemple e(n)sin(n) n'est pas majorée et ne converge pas

[Antikhippe]

C'est exactement un contre-exemple que je demandais !

Merci beaucoup, Eric78 !