diverses questions sur les espaces vectoriels

[invite613a4e44]

1) si dim A est inférieure à dim B, peut-on en conclure que A c B? je ne pense pas mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple

2) si j'ai: qq soit y appartenant à F, il existe x appartenant à E tel que y = f(x)+g(x) (avec f et g deux applications linéaires), est-ce que je peux en conclure que F= Im f + Im g ou pas?

3) quelle est la définition du produit de deux couples?
par exemple: (x,y) * ( x',y'), qu'est-ce que cela donne?

4) Si un espace vectoriel est de dimension 1, alors est-ce que tous ses éléments sont des bases? si oui, pouvez-vous m'expliquer pourquoi; si non, pouvez-vous me donner un contre-exemple?

5) si (e1, e2) est une partie génératrice de F et si (a1,a2,a3) est également une partie génératrice de F, alors on peut dire que F=Vect(e1, e2)= Vect (a1,a1,a3),c'est ça? Mais Vect(e1,e2), c'est le plus petit sous-espace vectoriel contenant (e1,e2) et Vect (a1,a2,a3) c'est le plus petit sous-espace vectoriel contenant (a1,a2,a3); ça voudrait donc dire que le plus petit sous-espace vectoriel contenant (e1,e2) est égal au plus petit sous-espace vectoriel contenant (a1,a2,a3). Le raisonnement est juste ou non?
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[GuYem]

1) Non. Mets toi dans R^3 (l'espace habituel à 3 dimensions) prend une droite et un plan qui ne la contient pas.

2)Oui tu peux. Mais ce que tu as là est plus fort ; ça dit que E = Im(f+g) carrément.

3) Il n'y pas de produit entre deux éléments dans un un espace vectoriel ; du moins pas encore.

4) Tous les éléments NON NULS sont des bases. Raison : si x est non nul alors l'espace vectoriel est de dimension 1. Comme l'espace ambiant est déjà de dimension 1, alors les deux sont égaux.

5) Le raisonnement est juste. Il ne faut pas croire que c'est parce qu'il y a plus d'éléments dans une famille que dans une autre qu'elles n'engendrent pas le même sous-espace. Pour t'en convaincre prends un x non nul et regarde le sev engendré par {x} et celui engendré par {0,x}. Exemple trés simple.


En espérant t'avoir aidé.

[iwio]

Je peux répondre pour la 1.
Par exemple, dans IR³, tu as un plan B engendré par le vecteur ((0,0,1),(0,1,0)) et la droite A de vecteur (1,0,0). La dim de B est de 2, celle de A est de 1, donc dim A < dim B, et A inter B = {0} donc A n'est pas inclu dans B.

[invite613a4e44]

Merci bcp pour vos réponses qui m'aident beaucoup. Mais il y a juste un petit truc que je ne comprends pas bien: vous vous placez tous les deux dans R3 pour prendre un plan. Mais un plan c'est un espace vectoriel de dim 2 donc pourquoi ne peut-on pas se placer dans R2?

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Justement parce que dans R^2 tu ne peux pas trouver deux sous espaces tels que dimA <= dimB et que A ne soit pas inclu dans B. Il n'y a pas assez de place dans R^2 pour ça.

[invite71b1f7de]

Bonjour

1) Un contre exemple simple est : A l'ensemble des matrices de rang n et B l'ensembles des matrices de rang n+1
dim(A)=n² inferieur a dim(B)=(n+1)²
Or l'ensemble des matrices (n*n) n'est evidemment pas inclus dans celui des matrices (n+1)*(n+1)!!!!

2)Je n'y ai pas trop refelechi mais etant donne que f et g sont lineaires , tu a y=(f+g)(x) , pour tt y , donc F=Im(f+g)



3) Ton produit de "couples" dépend tout simplement de la facon dont tu vas le definir:
(x,y)*(x',y')=(xx',yy') si tu veux
ou encore ....=(xy',x'y)
J'ai pris deux ex. ou l'ensemmble d'arrivé est de dim 2
Mais tu peux avoir :
(x,y)*(x',y')=xx'+yy' si l'ensemble d'arrivé est R , etc....

4) Tu es dans le vrai. Tout element d'un espace de dim 1 est une base. C'est plutot evident car tout element a de l'ensemble est proportionel a b , une base quelconque de cet ensemble. CAD:a=kb , k appartenant à R

5)Pour commencer , on ne dit pas une partie generatrice mais une famille generatrice(detail , detail....).
Si (e1,e2) est une famile generatrice de E , alors tu en deduis que dim(E) est inf ou = 2 ,
Donc E=Vect(e1,e2) est correct , mais alors tu en deduis que l'un des a_i est combinaison des 2 autres (ou meme proportionnel a l'un deux si dim(E)=1 )

[GuYem]

Attention Akabus!

1) Tes deux espaces de matrices n'habitent pas dans le même espace ambiant. Evidemment qu'ils ne sont pas inclus l'un dans l'autre!

3) Sans avoir au préalable un produit sur l'espace vectoriel de base, on va avoir du mal à définir un produit sur les couples d'éléments.. on n'est pas en train de travailler sur des groupes multiplicatifs là. On le ne dira jamais assez : sur un espace vectoriel on ne muliplie pas deux vecteurs entre eux!

4) Attention! Tous les vecteurs sont des bases sauf le vecteur nul.