Polynôme de degré 3

[invite4b0b4f95]

Bonjour je suis nouvelle ici et je ne sais pas du tout comment le forum fonctionne, j'espère que j'ai posté mon problème au bon endroit et que vous pourrez m'aider.
Exercice 1 :
1°) a, b, c et d sont quatre réels, on considère une fonction polynôme P de degré 3 définie pour tout réel x par P(x) = ax^3 + bx² + cx + d qui admet exactement deux racines réelles alpha et bêta. Quelles sont donc les deux factorisations possibles de P(x) ?

Donc la j'ai dit qu'un polynôme de degré 3 c'était le produit d'un polynôme de degré 1 et de degré 2 ( dont le discriminant est égal à 0 de sorte qu'il ait qu'une seule racine ).
Donc on obtient une factorisation de
(x-alpha)(x-bêta)² ou (x-bêta)(x-alpha)².

2°) On considère la fonction polynôme P définie, pour tout réel x, par :
P(x) = x^3 - 86x² - 3975x + 360000.

En utilisant l'une des deux factorisations de P(x) demandées à la question 1, déterminer les racines de P(x).

j'avais penser faire
(x-alpha)(x-bêta)²= x^3 - 86x² - 3975x + 360000
en développant j'obtiens
x^3 + (-2bêta-alpha)x² + (bêta² - 2alpha*bêta)x - (alpha*bêta²) = x^3 - 86x² - 3975x + 360000

et je pensai substitué en reprenant les coefficients pur obtenir alpha et bêta mais ça ne fonctionne pas.
(-2bêta-alpha) = -86
(bêta² - 2alpha*bêta) = -3975
(alpha*bêta²) = 360000
avec ça je pensai faire un système en remplaçant mais ça ne fonctionne pas ! donc comment je peu faire pour obtenir le résultat demandé à la question 2°) ?
Merci d'avance d'essayer de chercher une réponse.
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[matthias]

Tu es sûre que le coefficient en x est bien beta² -2alpha.beta ?

[invite4b0b4f95]

Oui c'est ce que jobtiens en développant :
(x-alpha)(x-beta)² = x^3 - 86 x² - 3975x + 360000
(x-alpha)(x²+ beta ² - 2x.bêta ) = x^3 - 86 x² - 3975x + 360000
x^3 + beta ².x - 2x².bêta - alpha.x² - alpha.beta² - 2x alpha.beta = x^3 - 86 x² - 3975x + 360000
x^3 + ( - 2 beta - alpha )x² + (beta² - 2alpha.beta)x - alpha.beta² = x^3 - 86 x² - 3975x + 360000

si la je n'ai pas refait de faute de calcul oui je pense que c'est ça. Tu vois mieux d'ou ça vien maintenant ? tu trouve quelque chose ?

[matthias]

si la je n'ai pas refait de faute de calcul oui je pense que c'est ça.

Moi je pense qu'il y a une erreur de signe sur le coefficient en x

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

x^3 + beta ².x - 2x².bêta - alpha.x² - alpha.beta² - 2x alpha.beta

C'est +2x alpha.beta (tu multiplies -alpha par -2x béta)

Croisement avec Matthias

[Jeanpaul]

Les équations que tu obtiens sont les identités classiques, à savoir que la somme des racines est -b/a et le produit -d/a.
Résoudre le système te redonnera une équation du 3ème degré.
Tu peux te montrer astucieuse en remarquant que la racine double est une racine du polynôme dérivé qui, lui, a le bon goût d'être du second degré.

[invite4b0b4f95]

Ah oui merci ! mais après je fais comme j'avais dit je dois remplacer ? en faisant un système ou c'est autre chose ?

[matthias]

Oui je pense que c'est l'esprit de l'énoncé même si on peut faire plus malin comme le fait remarquer Jean-Paul.

[invite4b0b4f95]

Les équations que tu obtiens sont les identités classiques, à savoir que la somme des racines est -b/a et le produit -d/a.
Résoudre le système te redonnera une équation du 3ème degré.
Tu peux te montrer astucieuse en remarquant que la racine double est une racine du polynôme dérivé qui, lui, a le bon goût d'être du second degré.

Mais ce que je comprend pas c'est la somme des racines est -b/a et le produit d/a on le sait comment ça ? sachant que je n'ai jamais travaillé sur le degré 3 je dois le redémontrer ! alors qu'il me dise d'utiliser la factorisation ! Quand tu me dis que si je résoud le système j'aurai une identité remarquable tu parle du système x^3 + ( - 2 beta - alpha ) x²... = x^3 - 86x²...
et aussi ce que je ne comprend pas c quand tu di que la racine double est une racine du polynôme dérivé ? dsl si je comprend pas gd chose ! mais en ce moment je ne comprend plus grand chose aux maths

[erik]

Continue comme tu avais tenté de la faire dans ton message #1.

Courage tu est sur la bonne voie.

[invite4b0b4f95]

je comprend pas meme en changeant mon signe mes système n'aboutisse à rien sachant que j'ai
- 2beta - alpha = -86
beta² + 2 alpha.beta = 3975
alpha.beta² = - 360000

je pensais réutilisé la 2e inéquation en faisant
beta² = 3975 - 2alpha.beta
et le remplacé dans alpha.beta² = - 360000 pour donner
alpha * (3975 - 2alpha.beta) = - 360000
mais je n'arive pa a rédire a cose de alpha carré et ça ne mene a rien alors comment utiliser cette factorisation ?

[erik]

En utilisant la première équation tu peux obtenir alpha en fonction de béta.

[matthias]

beta² + 2 alpha.beta = 3975

Ce n'est pas -3975 ?

[invite4b0b4f95]

en effet je fais que des erreur de signes c'est - 3975. lais pour exprimer alpha en fonction de beta avec la première équation ça me donne 86- alpha = 2beta c ça ? et après ? j'ai du mal

[invite4b0b4f95]

soi beta = ( 86 - alpha ) / 2
c ça ? mais après je dois encore remplacé et j'ai des équation à n'en plus finir et au final toujours rien ! je désespère ! aidez moi !

[erik]

Si tu remplace dans l'équation 2 ou 3 beta par la valeur que tu viens de trouver tu te retrouves avec des équations ou il n'y a plus qu'une seule variable (alpha), chose que tu devrais savoir résoudre

[matthias]

La versin bourrin qui ne nécessite pas de réflexion :

alpha = 86 - 2.beta
Tu remplaces le alpha dans beta² + 2.alpha.beta = -3975, ce qui te donne une équation du second degré en beta. Tu résouds, tu trouves 2 solutions pour beta, et une valeur de alpha associée à chacune grâce à alpha = 86 - beta.
Ensuite tu réinjectes le tout dans la troisième équation et tu vois que ça ne marche que pour un seul des couples (alpha;beta) trouvés.

[EDIT: croisement avec Erik]

[invite4b0b4f95]

La versin bourrin qui ne nécessite pas de réflexion :

alpha = 86 - 2.beta
Tu remplaces le alpha dans beta² + 2.alpha.beta = -3975, ce qui te donne une équation du second degré en beta. Tu résouds, tu trouves 2 solutions pour beta, et une valeur de alpha associée à chacune grâce à alpha = 86 - beta.
Ensuite tu réinjectes le tout dans la troisième équation et tu vois que ça ne marche que pour un seul des couples (alpha;beta) trouvés.

[EDIT: croisement avec Erik]

Je sens que je touche au but, depuis tt a l'heure je cherche ce que vous m'avez dit et j'ai trouvé une rep -75 je sais qu'elle est bonne grace a la courbe de ma calculatrice je l'obtiens en faisant (-b-racine de delta)/2a mais après pour obtenir alpha j'y arrive pas c'est quoi que je dois faire car moi je pensais faire alpha = 86 - 2beta mais je ne trouve pa le bon résultat je trouve 236 alors que la courbe m'affiche 64 ! et pourquoi une seul des deux racine est valable c'est ça que je ne comprend pa ? j'espère que vous etes toujours la, j'ai été un peu longue a tout réordonné mais jy suis arrivé grace à vous !

[matthias]

Peut-être que tu as aussi fait des erreurs de signe en tapant sur ta calculatrice alors ...
Moi je trouve beta = 75 et alpha = -64

[invite4b0b4f95]

c bon j'ai trouvé en fait ct + 75 et donc j'obtien mon - 64 ! mais pourquoi une seul des deux racine est valable c'est ça que je ne comprend pa !!! je vous demande juste un dernier petit truc s'il vous plait ???

[invite4b0b4f95]

en fet c bon g tt compris et réussi mon exercice ! j'y serai jamais arrivé toute seule vous m'avez trop aidé c'est très gentil a vous !
a biento peut etre