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Polynome de degré 4



  1. #1
    Jeremouse1

    Polynome de degré 4


    ------

    Bonjour,
    tout d'abord voila l'exercice que j'ai a faire :
    "On considere l'equation x^4 - 2x^3 - 6x² - 2x + 1 = 0 (E)
    1. Verifier que 0 n'est pas solution de (E)."

    Voila pour la 1ere question, je vous donnerai les suivantes si je n'y arrive pas par la suite. Voila en fait je ne sais pas du tout quelle est la méthode qu'il faut utiliser pour faire cette question donc je vous la demande pour que je puisse commencer mon exercice.

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    Baygon_Jaune

    Re : Polynome de degre 4

    Il n'y a pas de mystère : tu vérifies que si x = 0, alors (E) est fausse. C'est à dire, tu prends (E), tu remplaces x par 0, et tu tombes sur une égalité fausse.
    Pour rappel : les solutions d'une équation sont les valeurs de la variable telles que l'équation (ie, l'égalité) est vraie.
    « L'ennemi est bête : il croit que c'est nous l'ennemi alors que c'est lui ! » Desproges

  4. #3
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Bonjour,
    merci pour ta réponse rapide et bonne normalement car je trouve -1 donc comme c'est négatif ce n'est pas une solution.
    La deuxieme question que je n'arrive pas c'est "2. Montrer que, si "alpha" (je ne sais pas taper la lettre) est solution de (E) alors 1/alpha est aussi solution de (E)."
    Je croyais que je devais mettre E à la place de alpha mais je ne suis pas sur donc pour ne pas me tromper je vous demande de m'aider en m'indiquant la méthode.

    Merci d'avance

  5. #4
    Odie

    Re : Polynome de degre 4

    Salut,

    C'est sûr que si tu ne fais rien, tu ne risques pas de te tromper...
    Essaye au moins quelque chose, sinon tu n'arriveras jamais à rien par toi-même.

    Ceci dit, je vois que tu as quand même un début de raisonnement : remplace x par 1/ dans E, réduis au même dénominateur et observe ensuite le numérateur...

    A+

  6. #5
    ericcc

    Re : Polynome de degre 4

    Moi je trouve 1 si x=0 !!!!!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Ha oui désolé moi aussi je trouve 1 je m'étais trompé de signe mais alors qu'est ce qu'on doit dire dans ces cas là ?

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  10. #7
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Aussi j'ai fais ta méthode Odie et j'ai trouvé (je remplace alpha par a pour faire plus simple) a^4 - 2a^3 - 6a^2 - 2a +1 / a^4 donc au numérateur je retrouve bien mon expression de départ mais là est ce que je dois juste dire qu'au numérateur j'ai retrouvé mon expression de départ et que la valeur insterdite est au dénominateur ?

    Merci d'avance

  11. #8
    Odie

    Re : Polynome de degre 4

    Le dénominateur ne pose pas de problème car on a justement démontré au 1) que 0 n'était pas solution.

    Le numérateur est nul car a est solution par hypothèse.

    Donc (1/a)4 - 2(1/a)3 - 6(1/a)2 - 2(1/a) + 1 = 0
    (1/a) est par conséquent solution de (E).

  12. #9
    cricri

    Re : Polynome de degre 4

    x^4 - 2x^3 - 6x² - 2x + 1 = 0
    remplace x par 0 ca donne 1 = 0 impossible donc 0 n est pas solution
    on suppose "a" est solution donc
    a^4 - 2a^3 - 6a² - 2a + 1 = 0 vrai
    regardons si avec 1/a soit a^-1
    a^-4 - 2a^-3 - 6a^-2 - 2a^-1 + 1 = 0 est vrai
    on multiplie tous par a4 ca donne
    1-2a-6a^2-2a^3+a^4 =0 on retrouve l equation donc on a demontrer

  13. #10
    cricri

    Re : Polynome de degre 4

    je supose apres qu on demande les 4 solutions faut surement diviser des polynome ou un truc du genre et on arrive
    a -1 et son inverse (4-racine(12))/2 et son inverse

  14. #11
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Merci pour toute ces réponses c'est vraiment sympa et je comprends de mieux en mieux c'est bien. Sinon la question qui suit c'est "3. Montrer que l'équation (E) est équivalente à : x² - 2x - 6 - 2/x + 1/x² = 0 ."
    Donc pour cette question je crois qu'il faut remplacer x = x² ou un truc comme ça mais je ne suis pas vraiment sur donc je prefere vous demander juste la méthode et comme ça après je fais par moi même.

    Merci d'avance

  15. #12
    iwio

    Re : Polynome de degre 4

    pour montrer x² - 2x - 6 - 2/x + 1/x² = 0 tu n'as rien à poser.
    Tu as trouver que 0 n'annulé pas le polynome x^4 - 2x^3 - 6x² - 2x + 1 = 0 donc tu peux diviser toute ton equation par x² et ainsi montrer l'equivalence.
    Dernière modification par iwio ; 13/10/2005 à 19h36. Motif: faute d'orthographe :p

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  17. #13
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Merci pour ta réponse iwio mais est tu sur qu'on peut comme ça diviser par x² ? il ne faut pas donner des explications pour ça ?
    Sinon la prochaine question est assez simple mais je rpefere que vous verifiez si elle est bonne c'est "4. Calculer (x + 1/x)² donc c'est une identité remarquable ça fait donc x² + 2x/x + 1/x² ,est ce bien cela ?

    Merci d'avance

  18. #14
    iwio

    Re : Polynome de degre 4

    Comme x=0 n'est pas solution de ton équation x^4 - 2x^3 - 6x² - 2x + 1 = 0
    alors pour tout tu peux diviser ton équation par x²

    Sinon pour calculer (x + 1/x)², tu as bon. et n'oublie pas de simplifier ton 2x/x en 2.

  19. #15
    Superdumas

    Re : Polynome de degre 4

    2 x/x c'est 2.

    Ensuite, pour résoudre, tu poses X = x+1/x et tu peux factoriser ton polynôme (en trouvant une racine évidente).

  20. #16
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Ok merci une fois de plus pour ces aides que vous m'apporter.
    Pour la prochaine question j'ai un plus gros problème, je ne vais pas tourner en rond voici la question : "5. En posant X=x + 1/x, montrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation X² - 2X - 8 = 0 ."
    Pour cette question le problème qui se pose à moi est de savoir si on doit partir de l'équation initiale ou d'une autre calculer dans les questions précédentes et qu'est ce qu'on doit remplacer dans l'équation car la je ne vois aps très bien.

    Merci d'avance

    PS : pour la question 4 ça me donne x² + 2 + 1/x² normalement c'est bon mais je ne sais pas si ça a un rapport avec la question 5.
    Dernière modification par Jeremouse1 ; 13/10/2005 à 20h33.

  21. #17
    Superdumas

    Re : Polynome de degre 4

    On a X= x+1/x ie. X² = x² +2 +1/x² ie. X²-2 = x²+1/x²

    Tu factorises tout par x² (tu peux car 0 pas solution).

    Ensuite tu as : (x²+1/x²) -2 (x+1/x) - 6 = 0.
    X = x+1/x

    donc on a :

    X²-2 -2X-6 = 0 ie. X² -2X - 8 = 0.

    Et ça, tu sais résoudre.

    Ca s'appelle une équation réciproque (du 4ème degré).

    EDIT : juste une question, tu es en quel niveau ?

  22. #18
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Merci pour ta réponse je vais essayer ça sinon on vient juste de commencer les poylynomes de degre 3 ,4 ,5 le second degre je connais bien.

    PS : quand tu mets ie ça veut dire quoi ?
    Dernière modification par Jeremouse1 ; 14/10/2005 à 06h06.

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  24. #19
    Superdumas

    Re : Polynome de degre 4

    ie. ça veut dire id est qui signifie c'est-à-dire (équivalent en fait).

    Si tu veux, j'ai une équation réciproque du 6ème degré en stock (j'ai eu ça en DS).

  25. #20
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Ha ok bah merci

  26. #21
    Superdumas

    Re : Polynome de degre 4

    Donc l'exercice c'était : résoudre :
    x3 +2x² -(3/2)x - 3 = 0

    et

    x6 + 2x5 + (3/2) x4 +x3 +(3/2)x² + 2x+ 1 = 0.

    Bon courage.

  27. #22
    equation

    Re : Polynome de degre 4

    si sa tinterresse demin je et en ligue (se soir j'ai un em de caver onc dem1)
    je vais ettre une methode mple de resoluion des euation a degres.
    vraiment dsl pour se problem de clavier,
    sinn la oluion c'est tout simpl

    x3 +2x² -(3/2)x - 3 = 0
    x=1.2247

  28. #23
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Superdumas, pour revenir à ton raisonnement que j'ai eu le temps d'étudier je te le remet pour te dier ce que je rouve bizarre et que tu m'explique.
    On a X= x+1/x ie. X² = x² +2 +1/x² ie. X²-2 = x²+1/x²

    Tu factorises tout par x² (tu peux car 0 pas solution).

    Ensuite tu as : (x²+1/x²) -2 (x+1/x) - 6 = 0.
    X = x+1/x

    donc on a :

    X²-2 -2X-6 = 0 ie. X² -2X - 8 = 0.

    Et ça, tu sais résoudre.

    Ca s'appelle une équation réciproque (du 4ème degré).

    EDIT : juste une question, tu es en quel niveau ?
    Voila en fait je ne sais pas comment tu trouves ton -6 et de quel opération tu pars est ce que tu pourrais refaire ton résonnement en plus détailler si cela ne te dérange pas.

    Merci d'avance

  29. #24
    Superdumas

    Re : Polynome de degre 4

    Citation Envoyé par equation
    x3 +2x² -(3/2)x - 3 = 0
    x=1.2247
    Bah oui, mais :
    1) C'est une valeur approchée
    2) y a d'autres solutions...

    Voila en fait je ne sais pas comment tu trouves ton -6 et de quel opération tu pars est ce que tu pourrais refaire ton résonnement en plus détailler si cela ne te dérange pas.
    On avait pour les x², -6 comme coefficient (dans l'équation de départ). Or on factorise par x², donc il reste -6.

    Sinon, essaye de prendre un papier (blanc, propre) et un stylo et essaye par toi même, c'est comme cela que l'on progresse .

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  31. #25
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Est ce que tu pourrauis me dire à partir de quel équation tu factorises par x² et pourquoi tu me dis que -6 est un coeficient ?

    Merci d'avance

  32. #26
    Superdumas

    Re : Polynome de degre 4

    Je pars de l'équation de départ (où on a ... -6x² + ... = 0).

    Et pour les histoires de coefficients, bah, je comprends pas trop ta question.

  33. #27
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Oui mais partir de l'équation de départ et divider tout par x² c'est la question 3 donc ça sert à rien il faudrait surement partir de l'équation qu'on a démontrer équivalente à (E) qui est x² - 2x - 6 - 2/x + 1/x².
    En partant de cette expression j'aimerauis savoir comment tu fais parce que moi j'ai essayé et je sens que je touche au but mais il me faudrait encore une toute petite explication pour que j'y arrive.

  34. #28
    iwio

    Re : Polynome de degre 4

    équation de départ : x² - 2x - 6 - 2/x + 1/x² = 0

    ton -6, c'est celui écrit là.
    comme tu as posé X = x + 1/x , ensuite tu regroupe t'es termes

    (x²+1/x²) - 2(x+1/x) - 6 = 0

    Et ça te donne X² - 2 - 2X - 6 = 0 car tu as X² = (x+1/x)² = x² + 1/x² + 2, donc x² + 1/x = X² - 2

    Donc X² - 2X - 8 = 0

  35. #29
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Merci quand même iwio mais juste avant que je voyes que tu avais poster j'ai réussi à le faire sur ma feuille c'est bon j'ai compris mais je dois avoir un problème de visibilité ou de reconnaissance parce que là c'était tout bien expliqué et je voyais rien.

    Merci à tous je crois que je vais pouvoir finir tout seul ,si j'ai d'autre problème je vous le dirais.

  36. #30
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Voila en fait j'ai fini mon exercice encore une fois merci à tous, mais en fait à l'avant dernière question il dise de résoudre l'équation X² - 2X - 8 = 0 donc je sais que c'est un polynome donc j'ai résolu et je trouve -2 et 4.
    Ensuite à la dernière question il me met "En déduire les soluions de (E). Verifier le résultat de la question 2." Je remplace donc comme on a posé X = x + 1/x ,x par mes solutions donc ça me donne 3/2 et 17/4 mais je ne comprends pas très bien la dernière question qui dit de vérifier avec la question 2.
    Pourriez vous déjà me dire si mes résultats sont bons mais ça normalement il y a pas de problème et après m'expliquer plus clairement la dernière question.

    Merci d'avance

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