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Polynome de degré 4



  1. #31
    iwio

    Re : Polynome de degre 4


    ------

    Désolé, je ne peux plus t'aider, j'ai jaimais résolu d'équation comme ça. J'ai essayé de remonter avec les valeurs qui annule X² - 2X - 8
    Mais je ne trouve pas. J'ai probablement fais des erreurs de calcul.
    Si quelqu'un donne la solution, il peut détailler, ça serai cool. Merci

    -----

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  3. #32
    Odie

    Re : Polynome de degre 4

    Bonjour,

    La résolution de X² - 2X - 8 = 0 donne en effet -2 et 4
    Puisqu'on a posé X = x + 1/x, il faut à nouveau résoudre deux équations du 2nd degré pour trouver les solutions de (E) :

    x + 1/x = 4 <=> x² + 1 - 4x = 0 <=> x = 2+ ou x = 2-

    et

    x + 1/x = -2 <=> x² + 1 + 2x = 0 <=> x = -1 (racine double)

    Ensuite, on vérifie que les solutions trouvées vérifient bien la propriété démontrée à la question 2 :
    "Si a est solution alors 1/a l'est aussi"

    Effectivement :

    1/(-1) = -1 est solution
    1/(2+) = 2- est solution

  4. #33
    iwio

    Re : Polynome de degre 4

    Bon alors j'ai bien fais une erreur de calcul, j'avais eu le même raisonnement. Je l'avais fais pour X = 4. Mais je trouvais pas les bonnes soulutions.

  5. #34
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Ok meci vraiment pour toutes ces réponses ce forum est vraiment super je sens que je progresse d'heure en heure.
    Merci à tous

  6. #35
    iwio

    Re : Polynome de degre 4

    Oui c'est cool comme forum, j'aurais appri à résoudre une équation de degré 4.

  7. #36
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Attends en fait ce n'est pas terminé il y a quelque truc qui me dérange dans le raisonnement de Odie, en 1er comment tu fais pour passer de x + 1/x = 4 a x² + 1 - 4x , pareille pour la 2eme ,ensuite comment tu fais pour dire que 1/-1 = -1 et que 1/2-racine carré de 3 est égale à 2 + racine carré de 3 ?
    Dernière modification par Jeremouse1 ; 15/10/2005 à 14h36.

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  9. #37
    Superdumas

    Re : Polynome de degre 4

    pour x -1/x = 4, tu multiplies tout par x et tu mets du même côté.

    Pour 1/-1 bah c'est évident que ça fait -1.

    pour 1/2-racine(3), tu multiplies en haut et en bas par 2+racine(3) et le miracle se produit.

  10. #38
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Ha oui ok je vois en plus c'était marqué en bas de ma feuille je suis bête mais c'est bizarre parce que pour la première je trouve 4-racine carré de 12 / 2 et je ne sais pas comment Odie arrive à 2 racine carré de 3 ?

    Merci d'avance

  11. #39
    Odie

    Re : Polynome de degre 4

    Jeremouse, un petit effort s'il te plaît...

    (4 - )/2 = 2 -

    (tu simplifies en utilisant = )

  12. #40
    Jeremouse1

    Re : Polynome de degre 4

    Désolé c'est vrai je fais pas du tout attention mais merci encore une fois de plus à toi Odie et à tout le monde j'ai enfin fini mon DM merci.

  13. #41
    cricri

    Re : Polynome de degre 4

    Citation Envoyé par iwio
    Oui c'est cool comme forum, j'aurais appri à résoudre une équation de degré 4.
    pas du tous c est une equation tres specialle celle la
    pour resoudre la forme generique ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
    c est pas du tous comme ca
    faut poser X=x-b/3a (oula pas sur du tous mais c est l idee)
    en developpant on vire le X^3 on a AX^4+BX^2+CX+D=0
    A B C D calculable en fonction de abcd

    apres ca ce complique fortement on arrive a une equation du 3 degre qu on resout

  14. #42
    cricri

    Re : Polynome de degre 4

    simplifions x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 X=x-b/4

    on obtients X^4+pX^2+qX+r=0 pqr calculable equivalent a (X2+iX+j)(X2-iX+k) ijk inconnu
    avec en developant jk=r
    j+k-ii=p
    ik'-ij=q l astuce est de chercher z =j+k (jkz inconnu)

    je posterai le calcul plus tard j ai du mal obtient alors une equation du 3 degree en z avec tous les coefficient fonctionde (pqr connu)
    on resou l equation et on a la somme j+k et le produit jk = r connu
    d ou j k connu d ou i connu
    et donc on a fini

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  16. #43
    iwio

    Re : Polynome de degre 4

    Citation Envoyé par cricri
    pas du tous c est une equation tres specialle celle la
    pour resoudre la forme generique ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
    c est pas du tous comme ca
    faut poser X=x-b/3a (oula pas sur du tous mais c est l idee)
    en developpant on vire le X^3 on a AX^4+BX^2+CX+D=0
    A B C D calculable en fonction de abcd

    apres ca ce complique fortement on arrive a une equation du 3 degre qu on resout
    Oui je sais bien qu'il ne faut pas poser dans tous les cas X=x+1/x
    Mais je pense que le gros de la technique est là. Il faut juste savoir quel X faut poser.

  17. #44
    cricri

    Re : Polynome de degre 4

    j+k-ii=p
    z -ii=p
    i=q/(k-j)
    z(k-j)(k-j)-qq=p(k-j)(k-j)
    on s interrese a (k-j)(k-j)
    kk-2kj+jj
    kk-2r+jj
    k=z-j
    (z-j)(z-j)-2r +jj
    z^2-2zj+jj-2r+jj
    z=j+k
    z^2-2jj-2jk+jj-2r+jj
    z^2-2jk'-2r
    z2-2r-2r
    z2-4r
    d ou z(z2-4r)-qq=p(z2-4r)
    z3-4rz-qq=pz2-4pr
    z3-pz2+4pr-4rz-qq=0 et voila pqr connu on resou et c est quasi fini apres c est du 2 eme degre

  18. #45
    ushu

    Re : Polynome de degre 4

    Salut
    voici mon probleme Il ressemble beaucoup au votre...
    Je suis tout de meme bloque. j aurais espere que maintenant que l'on t'as explique et que tu as compris tu puisse m'aider.

    Considerons le polynome P(x)=x^4-2x^3-x^2-2x+1.

    demontrez que si x0 est une racine alors 1/x0 est une racine de P.
    Demontrez que l'egalite P(x)=0 est equivalente a x^2-2x-1-2x*1/x+1/x^2=0 pour tout x non nul.

    Posons X=x+1/x.Demontrer que x est solution de l'equation P(x)=0 si et seulement si X est solution de l'equation X^2-2X-3=0.(1)

    Resoudre l'equation (1) en trouvant une racine evidente
    En deduire que les racines de P sont les solutions de x^2+x+1=0 (2) et ls solutions de x^2-3x+1=0.(3)

    resoudre (2) et(3) en utilisant la forme canonique puis conclure.

    S'il te plaits explique moi....

  19. #46
    Ocarina

    Re : Polynome de degre 4

    I.E signifie "c'est à dire"

    Je suis nouveaux et je voudrais savoir si les équations réciproques marchaient pour chaque polynômes du 4éme degré????
    Car pour peu que l'équation soit légérement modifier en changeant x²-2x-6-2/x+1/x² par x²-2x-6-2/x+2/x² ça ne marche plus, non?

  20. #47
    Moloch57

    Re : Polynome de degre 4

    une équation réciproque de degré 4 est de la forme :
    ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0
    la methode de résolution proposée ci-avant n'est valable que pour ce type d'équation. si on modifie légèrement l'équation, comme tu le demande, ça ne marche plus.
    pour info, la méthode se généralise aux équations réciproque de degré 6 de la forme :
    ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+cx^2+bx+a= 0

  21. #48
    sassou77

    Re : Polynome de degré 4

    bonsoir, j'ai un petit souci avec un polinome de degré 4 qu'il faudrait factoriser :
    mon professeur ma dit de passer par la forme canonique mais je ne me souvient plus de cette forme
    voici le polinome
    z^4-4z^3+6z^2-4Z-15
    merci de votre aide

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  23. #49
    sylvainc2

    Re : Polynome de degré 4

    Je ne suis pas sûr moi non plus de ce qu'il veut dire par forme canonique, mais il existe une forme dite aussi réduite: y^4 +py^2+qy+r. On y arrive, à partir de z^4+az^3+bz^2+cz+d, en faisant la substitution z=y-a/4. Dans ton exemple tu fais donc z=y+1, et il se trouve que ca donne un polynôme facilement factorisable. Donc je suppose que c'est ca que le prof veut dire par forme canonique.

  24. #50
    telchar

    Re : Polynome de degré 4

    z^4-4z^3+6z^2-4z-15 =
    (z^4-4z^3+6z^2-4Z+1) - 16

    Le premier bout évoque furieusement des coefficients du binôme, le deuxième bout est 4²

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