Espaces vectoriels

[invite64705d03]

Bonjour,
je commence l'étude des e.v. et je me posais la question suivante:
Soit un e.v. K,V,+
Pourquoi est-il nécessaire que K soit un corps? A quel moment utilise-t-on la propriété de corps?
Merci
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[invitec053041c]

Bonsoir.

C'est un nécéssaire de définition on va dire.
Le fait que K soit un corps est très souvent utilisé dans les démonstrations (un scalaire non nul a un inverse).

Si l'ensemble des scalaires n'est pas un corps, on perd beaucoup de propriétés (le cardinal d'une base est le même quelle que soit la base par exemple).
Mais rien ne nous empêche d'étudier ensuite des espaces qui ne sont pas des ev car les scalaires ne sont pas pris dans un corps, mais les scalaires sont par exemple pris dans un anneau (les modules).

[invite2c3ff3cc]

Salut,
On peut faire plein de chose si c'est seulement un anneau, ça s'appelle un module.
Mais, m'a-ton dit, c'est plein de pièges (pas forcément de base, matrice à determinant non nul mais pas inversible, ..)

cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Module_sur_un_anneau