Espaces vectoriels

**Bleyblue** · 25/02/2006, 11h13

Bonjour,

Je suis occupé à résoudre des exercices sur les e.v. et j'ai ouvert ce topic pour vous demander de temps à autres si je ne me trompe pas.

J'essaie de savoir si la partie suivante de $\text{[math]}$ est une base :

{(1,0,1), (0,-5,0), (1,7,-2)}

Elle est bien génératrice car pour tout x,y,z réels:

$\text{[math]}$

donc j'ai un système :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

et comme " j'arrive à le résoudre " (c'est à dire que j'arrive à exprimer alpha beta et gamme en fonction de x y z) la partie est bien génératrice

Elle est bien libre aussi car si je remplace x,y et z dans le système par 0, 0 et 0 je tombe bien sur alpha = beta = gamma donc selon un théorème qui nous as été démontré au cours la partie est bien libre

Comme elle est libre et génératrice elle forme une base.

C'est bon ça je pense non ?

merci

inviteaeeb6d8b · 25/02/2006, 11h15

Salut,

il te suffit de montrer qu'elle libre ou bien génératrice.
Car en DF = n, toute famille libre qui comporte n vecteurs est aussi génératrice, et toute famille génératrice qui comporte n vecteurs est aussi libre.
(Ca se démontre bien)

Romain

**Bleyblue** · 25/02/2006, 11h59

Oui effectivement on nous a démontré ça aussi au cours, mais ici il est question de m'entraîner à vérifier qu'une partie d'un e.v. est libre/génératrice donc j'ai montrer les deux ...

merci

**Bleyblue** · 25/02/2006, 13h03

Tiens au fait le résultat que tu viens d'énoncé n'est plus valable en dimension infinie non ?

Si un e.v de dimension infinie admet une partie libre (ou génératrice) de dimension infinie cette partie ne forme pas forcément une base je pense ...

merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**erik** · 25/02/2006, 13h25

Elle est bien libre aussi car si je remplace x,y et z dans le système par 0, 0 et 0 je tombe bien sur alpha = beta = gamma

J'imagine que tu voulais, bien sur, dire :
je tombe bien sur alpha = beta = gamma = 0

**Bleyblue** · 25/02/2006, 13h30

Oui j'ai oublié de mettre le " = 0" à la fin.

merci

**Bleyblue** · 25/02/2006, 17h45

Dans l'espace vectoriel $\text{[math]}$ j'ai le sous-ensemble W des fonctions de la forme :

f(x) = A(x)cos(x) + B(x)sin(x)

où A(x) et B(x) sont deux polynômes en x, de degré inférieur ou égale à 1

Je dois

1) Démontrer que W est un sous espace de $\text{[math]}$

2) Montrer que l'ensemble B = {f1,f2,f3,f4} des 4 fonctions f1(x) = cos x, f2(x) = sin x, f3(x) = xcos x, f4(x) = xsin x est une base de W

Pour le point 1)

f(x) = (ax + b)cos x + (cx + d)sin x (a,b,c,d réels)

si je prends a=b=c=d=0 j'ai bien f(x) = 0 donc la fontion nulle fait bien partie de l'ensemble

De plus si je prends une deuxième fonction g(x) = (ex + f)cos x + (gx + h)sin x (e,f,g,h réels) j'ai bien :

f + g = (f + g)(x) = f(x) + g(x)
= (ax + b)cos x + (cx + d)sin x + (ex + f)cos x + (gx + h)sin x

= cos x (ax + b + ex + f) + sin x (cx + d + gx + h)

ce qui fait toujours partie de W car la somme de deux polynômes de degré <= 1 donne toujours polynôme de degré <= 1

donc c'est démontré.

Pour le point 2) :

B est génératrice par définition, il suffit de montrer qu'elle est aussi libre donc que Acos(x) + Bsin(x) + Cxcos(x) + Dxsin(x) = 0 (pour tout x dans IR) ==> A=B=C = 0
(ce qui est facile à faire)

Vous êtes d'accord ?

merci

invitebb921944 · 25/02/2006, 18h54

Bonjour.
Même si c'est évident, il faut montrer que
f+ag appartient à W avec a appartient à R (dans ton cas) et (f,g) appartient à W².

**Bleyblue** · 25/02/2006, 21h45

Ah oui j'aurais pluôt du montrer que (af + bg)(x) appartient à W (a b réels et f g dans W) ?

A ce détail près c'est bon ?

merci

**invite35452583** · 25/02/2006, 21h55

Envoyé par Bleyblue

Ah oui j'aurais pluôt du montrer que (af + bg)(x) appartient à W (a b réels et f g dans W) ?

A ce détail près c'est bon ?

merci

Oui, au détail près que ce n'est pas (af+bg)(x) (qui est soit un nombre soit une expression selon ce qu'est x) mais af+bg (qui, elle, est une fonction).

**Bleyblue** · 25/02/2006, 22h18

D'accord, je me perds dans toute ces notations ...

merci

invite3c81b085 · 26/02/2006, 15h14

Envoyé par Bleyblue

Oui effectivement on nous a démontré ça aussi au cours, mais ici il est question de m'entraîner à vérifier qu'une partie d'un e.v. est libre/génératrice donc j'ai montrer les deux ...

merci

Nous l'avons admis, je n'ai pas vu de démonstration

**Bleyblue** · 28/02/2006, 10h46

Envoyé par Herbiti

Nous l'avons admis, je n'ai pas vu de démonstration

Oui

Sinon j'essaie de savoir si les vecteurs (0,1,2) (1,1,1) et (1,0,2) forment une base de l'espace vectoriel $\text{[math]}$

La réponse est clairement non car : (1,1,1) = (0,1,2) + (1,0,2)

donc la partie n'est pas libre.

Mais si j'essaie de justifier ce dernier point avec le critère qui dit que :

$\text{[math]}$

donc :

$\text{[math]}$ (1)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

donc selon (1) $\text{[math]}$ (modulo 3) et en réinjectant dans les autres équations :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

soit :

$\text{[math]}$ (1)
$\text{[math]}$ (2)

selon (1) $\text{[math]}$ donc en réinjectant dans (2)

$\text{[math]}$

Qu'est ce que ça veut dire ça ?

merci

invite3c81b085 · 28/02/2006, 10h50

c pas un démonstration :s:

**erik** · 28/02/2006, 10h55

(1,1,1) = (0,1,2) + (1,0,2)

c'est le matin, tout le monde se reveille, et hop on écrit des bétises.

D'ailleurs tu montres bien par la suite que l'on a bien

$\text{[math]}$

PS : C'EST MOI qui écrit des bétises, je n'avais pas vu qu'on travaillait sur Z3, je vais prendre un café !!!

**Bleyblue** · 28/02/2006, 21h15

PS : C'EST MOI qui écrit des bétises, je n'avais pas vu qu'on travaillait sur Z3,

Effectivement

Mais dans ce cas que veut dire ce 0alpha = 0 dans la suite ? Je ne comprend pas ...

merci

**Bleyblue** · 28/02/2006, 22h12

Ca veut simplement dire que le système est valable pour tout alpha = gamma (dans Z3)

Donc la partie n'est pas libre.

merci

**Bleyblue** · 05/03/2006, 20h54

Tenez si je prends un vecteur $\text{[math]}$ de IR² ayant (5,6) pour composantes dans la base $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

On note $\text{[math]}$ et (5,6) sont les composantes de v dans la base e1,e2

Mais si maintenant je calcul : $\text{[math]}$ je tombe sur (22,43)

(22,43) ce sont les coordonées de v dans la base e1,e2 c'est bien ça ?

Et comment je note ça ?
Lorsqu'on travaillait avec des bases canoniques uniquement c'était facile vu que les coordonées du vecteur et les composantes étaient identiques.

Si je note ça $\text{[math]}$ ça ne ratera pas et on va confondre avec les composantes. Comment faire pour ne pas s'emêler les pinceaux ?

merci

invite88ef51f0 · 05/03/2006, 20h58

(22,43) ce sont les coordonées de v dans la base e1,e2 c'est bien ça ?

Non, ça c'est dans la base canonique. Dans (e1,e2), c'est (5,6)...

Et comment je note ça ?

$\text{[math]}$

**Bleyblue** · 05/03/2006, 21h27

ouille

Mais si j'essaie de calculer les composantes de (22,43) dans la base {(2,2), (2,3)} j'ai :

(22,43) = a(2,2) + b(2,3) = (2a + 2b, 2a + 3b)

donc a = -10 et b = 21 et ça ne corresond pas à (5,6)

Je ne comprend plus la ...

merci

invite88ef51f0 · 05/03/2006, 21h34

C'est le premier calcul qui est faux : (5,6) dans e1,e2, ça donne pas (22,43) dans la base canonique...

**Bleyblue** · 05/03/2006, 21h44

Effectivement je me suis trompé dans mon calcul

Donc en fait coordonées d'un vecteur c'est synonyme de composantes d'un vecteur ?

merci

invite88ef51f0 · 05/03/2006, 21h59

Oui, pour parler de coordonnées ou de composantes, il faut une base.

**Bleyblue** · 05/03/2006, 22h07

Oui
Mais comme tout espace vectoriel possède une base, on est sauvé

merci

invite88ef51f0 · 05/03/2006, 22h10

Oui, mais comme tout espace vectoriel possède plus d'une base, faut la préciser !

**Bleyblue** · 05/03/2006, 22h14

héhé

Quoique je ne le savais pas. Mais tiens si on permute l'ordre de deux vecteurs d'une base on obtient une autre base donc en fait c'est évident ...

merci

invite88ef51f0 · 05/03/2006, 22h28

Et surtout si tu multiplies ta base par un scalaire (non-nul), c'est toujours une base. Et l'avantage, c'est que ça marche même quand la dimension n'est que de 1.

Mais d'un autre côté, c'est pas très utile comme résultat.

**Bleyblue** · 06/03/2006, 14h51

En effet, mais c'est toujours bon à savoir

merci

**Bleyblue** · 08/03/2006, 19h42

Bon et maintenant je peux définir un espace vectoriel :

$\text{[math]}$

?

Tout vecteur s'écrira donc : (a + bi, c + di) = (a,c) + (b,d)i

Pour l'addition et la multiplication scalaire il est évident que les axiomes sont vérifiés et alors si je prends : {(1,0), (0,1), (i,0), (0,i) } j'ai bien une base.

N'est ce pas ?

merci

**Bleyblue** · 08/03/2006, 20h14

Je peux aussi définir l'e.v. :

$\text{[math]}$ (n naturel)

de dimension 2n

Je dis des bêtises

?

merci

Espaces vectoriels