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Espaces vectoriels



  1. #1
    Bleyblue

    Espaces vectoriels


    ------

    Bonjour,

    Je suis occupé à résoudre des exercices sur les e.v. et j'ai ouvert ce topic pour vous demander de temps à autres si je ne me trompe pas.

    J'essaie de savoir si la partie suivante de est une base :

    {(1,0,1), (0,-5,0), (1,7,-2)}

    Elle est bien génératrice car pour tout x,y,z réels:



    donc j'ai un système :





    et comme " j'arrive à le résoudre " (c'est à dire que j'arrive à exprimer alpha beta et gamme en fonction de x y z) la partie est bien génératrice

    Elle est bien libre aussi car si je remplace x,y et z dans le système par 0, 0 et 0 je tombe bien sur alpha = beta = gamma donc selon un théorème qui nous as été démontré au cours la partie est bien libre

    Comme elle est libre et génératrice elle forme une base.

    C'est bon ça je pense non ?

    merci

    -----

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  3. #2
    Romain-des-Bois

    Re : Espaces vectoriels

    Salut,

    il te suffit de montrer qu'elle libre ou bien génératrice.
    Car en DF = n, toute famille libre qui comporte n vecteurs est aussi génératrice, et toute famille génératrice qui comporte n vecteurs est aussi libre.
    (Ca se démontre bien)

    Romain

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Oui effectivement on nous a démontré ça aussi au cours, mais ici il est question de m'entraîner à vérifier qu'une partie d'un e.v. est libre/génératrice donc j'ai montrer les deux ...

    merci

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Tiens au fait le résultat que tu viens d'énoncé n'est plus valable en dimension infinie non ?

    Si un e.v de dimension infinie admet une partie libre (ou génératrice) de dimension infinie cette partie ne forme pas forcément une base je pense ...

    merci

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    erik

    Re : Espaces vectoriels

    Elle est bien libre aussi car si je remplace x,y et z dans le système par 0, 0 et 0 je tombe bien sur alpha = beta = gamma
    J'imagine que tu voulais, bien sur, dire :
    je tombe bien sur alpha = beta = gamma = 0

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Oui j'ai oublié de mettre le " = 0" à la fin.

    merci

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Dans l'espace vectoriel j'ai le sous-ensemble W des fonctions de la forme :

    f(x) = A(x)cos(x) + B(x)sin(x)

    où A(x) et B(x) sont deux polynômes en x, de degré inférieur ou égale à 1

    Je dois

    1) Démontrer que W est un sous espace de

    2) Montrer que l'ensemble B = {f1,f2,f3,f4} des 4 fonctions f1(x) = cos x, f2(x) = sin x, f3(x) = xcos x, f4(x) = xsin x est une base de W

    Pour le point 1)

    f(x) = (ax + b)cos x + (cx + d)sin x (a,b,c,d réels)

    si je prends a=b=c=d=0 j'ai bien f(x) = 0 donc la fontion nulle fait bien partie de l'ensemble

    De plus si je prends une deuxième fonction g(x) = (ex + f)cos x + (gx + h)sin x (e,f,g,h réels) j'ai bien :

    f + g = (f + g)(x) = f(x) + g(x)
    = (ax + b)cos x + (cx + d)sin x + (ex + f)cos x + (gx + h)sin x

    = cos x (ax + b + ex + f) + sin x (cx + d + gx + h)

    ce qui fait toujours partie de W car la somme de deux polynômes de degré <= 1 donne toujours polynôme de degré <= 1

    donc c'est démontré.

    Pour le point 2) :

    B est génératrice par définition, il suffit de montrer qu'elle est aussi libre donc que Acos(x) + Bsin(x) + Cxcos(x) + Dxsin(x) = 0 (pour tout x dans IR) ==> A=B=C = 0
    (ce qui est facile à faire)

    Vous êtes d'accord ?

    merci
    Dernière modification par Bleyblue ; 25/02/2006 à 16h48.

  11. #8
    invite43219988

    Re : Espaces vectoriels

    Bonjour.
    Même si c'est évident, il faut montrer que
    f+ag appartient à W avec a appartient à R (dans ton cas) et (f,g) appartient à W².

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Ah oui j'aurais pluôt du montrer que (af + bg)(x) appartient à W (a b réels et f g dans W) ?

    A ce détail près c'est bon ?

    merci

  13. #10
    homotopie

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Ah oui j'aurais pluôt du montrer que (af + bg)(x) appartient à W (a b réels et f g dans W) ?

    A ce détail près c'est bon ?

    merci
    Oui, au détail près que ce n'est pas (af+bg)(x) (qui est soit un nombre soit une expression selon ce qu'est x) mais af+bg (qui, elle, est une fonction).

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    D'accord, je me perds dans toute ces notations ...

    merci

  15. #12
    Herbiti

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Oui effectivement on nous a démontré ça aussi au cours, mais ici il est question de m'entraîner à vérifier qu'une partie d'un e.v. est libre/génératrice donc j'ai montrer les deux ...

    merci
    Nous l'avons admis, je n'ai pas vu de démonstration
    Herbiti

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Herbiti
    Nous l'avons admis, je n'ai pas vu de démonstration
    Oui

    Sinon j'essaie de savoir si les vecteurs (0,1,2) (1,1,1) et (1,0,2) forment une base de l'espace vectoriel

    La réponse est clairement non car : (1,1,1) = (0,1,2) + (1,0,2)

    donc la partie n'est pas libre.

    Mais si j'essaie de justifier ce dernier point avec le critère qui dit que :



    donc :

    (1)



    donc selon (1) (modulo 3) et en réinjectant dans les autres équations :




    soit :

    (1)
    (2)

    selon (1) donc en réinjectant dans (2)



    Qu'est ce que ça veut dire ça ?

    merci

  18. #14
    Herbiti

    Re : Espaces vectoriels

    c pas un démonstration :s:
    Herbiti

  19. #15
    erik

    Re : Espaces vectoriels

    (1,1,1) = (0,1,2) + (1,0,2)
    c'est le matin, tout le monde se reveille, et hop on écrit des bétises.

    D'ailleurs tu montres bien par la suite que l'on a bien



    PS : C'EST MOI qui écrit des bétises, je n'avais pas vu qu'on travaillait sur Z3, je vais prendre un café !!!
    Dernière modification par erik ; 28/02/2006 à 09h58.

  20. #16
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    PS : C'EST MOI qui écrit des bétises, je n'avais pas vu qu'on travaillait sur Z3,
    Effectivement

    Mais dans ce cas que veut dire ce 0alpha = 0 dans la suite ? Je ne comprend pas ...

    merci

  21. #17
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Ca veut simplement dire que le système est valable pour tout alpha = gamma (dans Z3)

    Donc la partie n'est pas libre.

    merci

  22. #18
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Tenez si je prends un vecteur de IR² ayant (5,6) pour composantes dans la base et

    On note et (5,6) sont les composantes de v dans la base e1,e2

    Mais si maintenant je calcul : je tombe sur (22,43)

    (22,43) ce sont les coordonées de v dans la base e1,e2 c'est bien ça ?

    Et comment je note ça ?
    Lorsqu'on travaillait avec des bases canoniques uniquement c'était facile vu que les coordonées du vecteur et les composantes étaient identiques.

    Si je note ça ça ne ratera pas et on va confondre avec les composantes. Comment faire pour ne pas s'emêler les pinceaux ?

    merci

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  24. #19
    Coincoin

    Re : Espaces vectoriels

    (22,43) ce sont les coordonées de v dans la base e1,e2 c'est bien ça ?
    Non, ça c'est dans la base canonique. Dans (e1,e2), c'est (5,6)...
    Et comment je note ça ?
    Encore une victoire de Canard !

  25. #20
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    ouille

    Mais si j'essaie de calculer les composantes de (22,43) dans la base {(2,2), (2,3)} j'ai :

    (22,43) = a(2,2) + b(2,3) = (2a + 2b, 2a + 3b)

    donc a = -10 et b = 21 et ça ne corresond pas à (5,6)

    Je ne comprend plus la ...

    merci

  26. #21
    Coincoin

    Re : Espaces vectoriels

    C'est le premier calcul qui est faux : (5,6) dans e1,e2, ça donne pas (22,43) dans la base canonique...
    Encore une victoire de Canard !

  27. #22
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Effectivement je me suis trompé dans mon calcul

    Donc en fait coordonées d'un vecteur c'est synonyme de composantes d'un vecteur ?

    merci

  28. #23
    Coincoin

    Re : Espaces vectoriels

    Oui, pour parler de coordonnées ou de composantes, il faut une base.
    Encore une victoire de Canard !

  29. #24
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Oui
    Mais comme tout espace vectoriel possède une base, on est sauvé

    merci

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  31. #25
    Coincoin

    Re : Espaces vectoriels

    Oui, mais comme tout espace vectoriel possède plus d'une base, faut la préciser !
    Encore une victoire de Canard !

  32. #26
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    héhé

    Quoique je ne le savais pas. Mais tiens si on permute l'ordre de deux vecteurs d'une base on obtient une autre base donc en fait c'est évident ...

    merci

  33. #27
    Coincoin

    Re : Espaces vectoriels

    Et surtout si tu multiplies ta base par un scalaire (non-nul), c'est toujours une base. Et l'avantage, c'est que ça marche même quand la dimension n'est que de 1.

    Mais d'un autre côté, c'est pas très utile comme résultat.
    Encore une victoire de Canard !

  34. #28
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    En effet, mais c'est toujours bon à savoir

    merci

  35. #29
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Bon et maintenant je peux définir un espace vectoriel :



    ?

    Tout vecteur s'écrira donc : (a + bi, c + di) = (a,c) + (b,d)i

    Pour l'addition et la multiplication scalaire il est évident que les axiomes sont vérifiés et alors si je prends : {(1,0), (0,1), (i,0), (0,i) } j'ai bien une base.

    N'est ce pas ?

    merci

  36. #30
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Je peux aussi définir l'e.v. :

    (n naturel)

    de dimension 2n

    Je dis des bêtises ?

    merci

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