Espaces vectoriels

**Bleyblue** · 10/03/2006, 18h42

Tenez je cherche à connaître la dimension du sous espace vectoriel de R⁶ engendré par les vecteurs :

(1,-1,0,0,0,0),
(1,1,-2,0,0,0),
(1,1,1,-3,0,0),
(1,1,1,1,-4,0),
(1,1,1,1,1,-5)

Comme tous ces vecteurs sont libres (vous confirmez N) ils forment une partie gnératrice et une partie libre, donc la dimension du s.e.v. est 5 n'est ce pas ?

merci

inviteeac53e14 · 10/03/2006, 19h50

Envoyé par Bleyblue

Je peux aussi définir l'e.v. :

$\text{[math]}$ (n naturel)

de dimension 2n

Je dis des bêtises

?

merci

Je ne comprends pas tes notations. Lequel est l'ev et lequel est l'ensemble des opérateurs.

Sinon si tu veux t'amuser avec les ev, tu n'as qu'à travailler dans $\text{[math]}$ en tant que $\text{[math]}$ -ev ; c'est bien marrant!

p est bien entendu un nombre premier!

**Bleyblue** · 11/03/2006, 11h28

Envoyé par Bloud

Je ne comprends pas tes notations. Lequel est l'ev et lequel est l'ensemble des opérateurs.

F,V,+,.; désigne l'espace vectoriel V sur le corps F (c'est la notation qu'on nous a apprise au cours)

Sinon on nous a déja un peu fait travailler avec des ev sur les corps finis $\text{[math]}$ (p premier) ou plus généralement $\text{[math]}$ ou F désigne un champ (corps commutatif) fini

merci

inviteeac53e14 · 11/03/2006, 12h21

Envoyé par Bleyblue

Je peux aussi définir l'e.v. :

$\text{[math]}$ (n naturel)

de dimension 2n

Je dis des bêtises

?

merci

Salut,

J'ai juste une question. Comment définis-tu la multiplication par un scalaire dans ce cas ? Et aussi, comment définis-tu ta seconde loi sur le corps $\text{[math]}$ ? J'ai du mal à voir.

Merci d'avance.

inviteeac53e14 · 11/03/2006, 12h32

Je n'ai rien dit.

inviteeac53e14 · 11/03/2006, 12h34

Envoyé par Bloud

Salut,

J'ai juste une question. Comment définis-tu la multiplication par un scalaire dans ce cas ? Et aussi, comment définis-tu ta seconde loi sur le corps $\text{[math]}$ ? J'ai du mal à voir.

Merci d'avance.

Il fallait bien entendu lire $\text{[math]}$

inviteeac53e14 · 11/03/2006, 12h37

C'est bon, plus la peine de répondre à mes questions. J'ai compris le truc.

Merci.

**Bleyblue** · 11/03/2006, 13h42

Ok mais je ne suis pas sûr de moi

Tu peux peut-être confirmer que cela forme bien un e.v. ?

merci

inviteeac53e14 · 11/03/2006, 21h51

Oui, pour ça il n'y a pas de problème, c'est bien un espace vectoriel. Comme tu l'as écrit les axiomes d'addition et de multiplication sont vérifiés. Et on bien $\text{[math]}$ qui est un groupe abélien.

**Bleyblue** · 11/03/2006, 22h08

D'accord merci (à la limite si le groupe n'avait pas été abélien ça n'aurait pas été grave non ? On aura alors eu un e.v. sur un corps non commutatif ...)

merci

**invite35452583** · 11/03/2006, 23h50

Bonjour,

1) $\text{[math]}$ (pour reprendre la notation qui n'a rien d'universelle) n'est pas un e.v.
Tous les axiomes vérifiés? Sauf peut-être un : $\text{[math]}$ n'est un corps que pour n=1!
2) Dans le dernier message il y a confusion entre l'addition du "corps" et de l'ev. Et, l'addition dans un corps non commutatif est abélien, seule la multiplication ne l'est pas. Dans un ev, l'addition est également abélienne.
3) les 5 vecteurs de $\text{[math]}$
(1,-1,0,0,0,0),
(1,1,-2,0,0,0),
(1,1,1,-3,0,0),
(1,1,1,1,-4,0),
(1,1,1,1,1,-5)
sont bien libres et engendrent donc bien un sev de dimension 5.

Cordialement

**Bleyblue** · 12/03/2006, 10h14

Aie.

Quel est donc l'axiome qui n'est pas vérifié, par exemple pour $\text{[math]}$ ?

J'ai beau vérifier tout me semble bon :

Si je définis
(a,b) + (c,d) = (a + b, c + d)
(a,b)(c,d) = (ac,bd)

alors :

- $\text{[math]}$ forme bien un groupe commutatif

- $\text{[math]}$ aussi

On a bien pour a,b,c,d,e,f réels :

$\text{[math]}$

merci

**Bleyblue** · 12/03/2006, 10h22

Ah mais je ne peux pas définir la multiplication de cette manière si je souhaite utiliser ce corps pour former un e.v sur C.

Je suis obligé de poser :

(a,b).(c,d) = (ac - bd, ad + cb)
et alors R² ne formera plus un corps

C'est bien ça qui n'allait pas n'est ce pas ?

merci

**invite35452583** · 12/03/2006, 10h56

Le problème ne vient pas de "l'ev C".
Le produit (a,b)(c,d) n'est pas une loi de groupe sur R²\{(0,0)} :
(1,0).(0,1)=(0,0) donc ce n'est pas stable (il y a des diviseurs de 0, donc des éléments qui trivialement n'ont pas d'inverses)

Les seuls corps qui sont des R-ev de dimension finie sont R, C et H (quaternions). Les produits ne sont pas le produit terme à terme qui donne des diviseurs de 0 dès qu'il y a plusieurs composantes.
Avec les corps R,C, Q et les Z/pZ, il y a déjà de quoi travailler sur les ev. Une bonne partie des ev utiles en mathématiques sont sur ces corps. Si tu veux diversifier des exemples d'ev ce n'est pas sur le corps qu'il faut "travailler".

Cordialement

inviteeac53e14 · 12/03/2006, 13h22

Ah oui! Je n'avais pas du tout réalisé!!! C'est vraiment évident en plus. Désolé de t'avoir induit en erreur Bleyblue. La prochaine fois, je ferai plus attention.

Dimitri.

**Bleyblue** · 12/03/2006, 14h18

Mais un espace vectoriel c'est toujours définit sur un coprs non ?

Sinon pour le coup de (1,0).(0,1) = (0,0) c'est vrai que c'était évident, je n'y avais pas pensé ...

merci

**invite35452583** · 12/03/2006, 14h51

Envoyé par Bleyblue

Mais un espace vectoriel c'est toujours définit sur un coprs non ?
merci

Oui bien qu'il existe des généralisations mais qui ne sont donc plus des ev. (On évite généralement les structures à diviseurs de zéro quand même).

**Bleyblue** · 12/03/2006, 16h48

Ah, c'est ça n'est pas triviale comme généralisation j'imagine ...

merci

**Bleyblue** · 02/04/2006, 18h27

Dans l'espace vectoriel $\text{[math]}$ je considère les fonctions :

f₁(x) = sin x
f₂(x) = cos x
f₃(x) = sin²(x)
f₄(x) = cos²(x)
f₅(x) = cos(2x)
f₆(x) = 1

et les parties S = vect{f1,f2,f3,f4}, T = vect{f5,f6}

Je cherche à savoir si :

a) S = T

b) $\text{[math]}$

c) $\text{[math]}$

a) Je vérifie que les parties {f1,f2,f3,f4} et {f5,f6} forment une base de (respectivement) S et T
De ce fait S est de dimension 4 et T de dimension 2 donc ça n'est pas possible

b) S étant un sous espace vectoriel de dimension 4 il ne peut pas être contenu dans un sous espace de dimension 2 donc la réponse est non à nouveau

c) Ici par contre il faut réfléchir un peu :

Toute fonction de T appartient elle à S ?
Soit f une fonction de T, elle s'écrira donc :

f(x) = Acos(2x) + B (A et B des réels quelconques)

oui mais on sait que

$\text{[math]}$

donc f peut se réécrire :

f(x) = 2Acos^2(x) + (B - A)

Une fonction de ce type appartient-elle à S ? Oui car toute fonction de S s'écrit :

acos(x) + bsin(x) + ccos²(x) + dsin²(x) (a,b,c,d des réels)

et si on prend
a = b = 0
d = (B - A)
c = (B - A + 2A)

on obtient bien la fonction f(x)

Donc la réponse est oui

Si je récapitule cela donne :

a)non
b)non
c)oui

Pensez-vous que ce soit juste ou bien je me suis trompé quelque part ?

merci

**Bleyblue** · 06/04/2006, 17h16

Et si maintenant je considère l'espace vectoriel réel :

$\text{[math]}$ (c'est à dire l'ensemble des couples polynômes (p(x),q(x)) tous deux de degré n) une base est bien donnée par :

B = {(0,1),(1,0),(0,x),(x,0),(0,x² ),(x²,0) ... (0,xⁿ),(xⁿ,0)}

n'est ce pas ?
Donc l'e.v. est de dimension 2n ...

merci

invite6b1e2c2e · 07/04/2006, 21h00

Salut,

Oui, c'est tout à fait juste.

Pour compléter :
$\text{[math]}$ .

__
rvz, en stage en Espagne

PS : Tiens, elle est chouette la nouvelle séparation, vous avez fait ça quand ?

**Bleyblue** · 07/04/2006, 23h57

Ok merci (et merci aussi pour la propriété, je prends note

)

Sinon la nouvelle séparation on en parle depuis bien longtemps au debut du forum et alors cela fait un peu plus d'une semaine qu'elle est devenue opérationnelle (au début j'étais contre mais après coup c'est pas plus mal d'avoir deux sections rien que pour nous

)

**Bleyblue** · 09/04/2006, 23h50

Et puis tenez qu'est ce qui m'empêche de définir un ensemble avec des polynômes, non pas réelles mais rationnels ?

$\text{[math]}$

l'espace vectoriel des polynômes de degré n rationnels muni de l'addition et de la multiplication scalaire habituels ?

C'est bien un e.v non ?

merci

(P.S : personne n'a une idée pour mon problème de fonctions la (message 49) ? )

invite6b1e2c2e · 10/04/2006, 15h55

Bonjour,

Oui, bien sûr, c'est un Q espace vectoriel, et il est de dimension n sur le corps Q évidemment.
Attention, bientôt, tu te demanderas si les polynômes à coefficients dans Z et de degré plus petit que n forment un espace vectoriel, et la réponse sera non, car Z n'est pas un corps. Ca donne toute la théorie des A modules, avec A un anneau, la classification des groupes commutatifs, le lien entre équivalence de matrices et classes de similitude, etc. Attention, le cas des modules est bien plus compliqué que celui des espaces vectoriels, notamment parce qu'il n'y a pas forcément de base. Et pourtant je te mets au défi de chercher où le fait que k soit un corps intervient dans la théorie de la dimension

Pour ton message 49, tout d'abord, les questions devraient être posées avec la a en dernier. Ensuite, je suis globalement d'accord. Pour la c , il suffit de montrer que tu peux obtenir f5 et f6 à partir des autres, et ça, c'est facile : sin^2 + cos^2 = 1
cos^2-sin^2 = cos(2x)
Donc il est clair que en fait, vect(cos(2x), 1) = Vect(sin^2, cos^2), et c'est clairement de dimension 2.
Tu en déduis que S est inclus dans T trivialement.
T n' est inclus dans S car tu ne peux pas exprimer sin en fonction de sin^2 et cos^2, mais ça nécessite une preuve que tu caches perversement

dans ton a. Si
sin(x) = a cos^2 + b sin^2,
alors, en prenant x = 0, on obtient que a = 0. Donc sin serait de signe constant = signe de b, donc contradiction.
Du coup, T est strictement plus gros que S, donc il n'y a pas égalité.

_
rvz

**Bleyblue** · 11/04/2006, 12h59

Envoyé par rvz

Oui, bien sûr, c'est un Q espace vectoriel, et il est de dimension n sur le corps Q évidemment.
Attention, bientôt, tu te demanderas si les polynômes à coefficients dans Z et de degré plus petit que n forment un espace vectoriel, et la réponse sera non, car Z n'est pas un corps.

Oui je me suis déja posé la question et je suis tombé sur la même conclusion

Envoyé par rvz

Pour ton message 49, tout d'abord, les questions devraient être posées avec la a en dernier. Ensuite, je suis globalement d'accord. Pour la c , il suffit de montrer que tu peux obtenir f5 et f6 à partir des autres, et ça, c'est facile : sin^2 + cos^2 = 1
cos^2-sin^2 = cos(2x)
Donc il est clair que en fait, vect(cos(2x), 1) = Vect(sin^2, cos^2), et c'est clairement de dimension 2.
Tu en déduis que S est inclus dans T trivialement.
T n' est inclus dans S car tu ne peux pas exprimer sin en fonction de sin^2 et cos^2, mais ça nécessite une preuve que tu caches perversement dans ton a. Si
sin(x) = a cos^2 + b sin^2,
alors, en prenant x = 0, on obtient que a = 0. Donc sin serait de signe constant = signe de b, donc contradiction.
Du coup, T est strictement plus gros que S, donc il n'y a pas égalité.

ok merci !

**Bleyblue** · 11/04/2006, 13h03

Tiens pour un espace vectoriel V sur un corps C on parle bien du dual de V pour l'ensemble des formes linéaires de V vers C ?

merci

invitedf667161 · 11/04/2006, 13h07

oui (avec du blabla entre parenthèses pour que le message soit assez long)

**Bleyblue** · 11/04/2006, 15h21

Ah bien, j'en apprends tous les jours (et moi la terminologie j'aime bien ça

)

merci

**Bleyblue** · 29/05/2006, 20h55

Dites à propos de l'espace vectoriel $\text{[math]}$ (n naturel)
Je peux considérer ça comme un espace vectoriel complexe de dimension n.

Mais il est aussi possible de voir ça comme un espace vectoriel réel de dimension 2n non ?

Par exemple pour C²

(z1,z2) = (a + bi,c + di) = (a,b) + (c,d)i

merci

invite6b1e2c2e · 29/05/2006, 21h18

Oui, tout à fait.
Base canonique sur R =
(1,0,0,...0), (i, 0,...0), (0,1,0,...0),(0,i,0,...) ...

__
rvz

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