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Espaces vectoriels



  1. #31
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels


    ------

    Tenez je cherche à connaître la dimension du sous espace vectoriel de R6 engendré par les vecteurs :

    (1,-1,0,0,0,0),
    (1,1,-2,0,0,0),
    (1,1,1,-3,0,0),
    (1,1,1,1,-4,0),
    (1,1,1,1,1,-5)

    Comme tous ces vecteurs sont libres (vous confirmez N) ils forment une partie gnératrice et une partie libre, donc la dimension du s.e.v. est 5 n'est ce pas ?

    merci

    -----

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  3. #32
    Bloud

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Je peux aussi définir l'e.v. :

    (n naturel)

    de dimension 2n

    Je dis des bêtises ?

    merci
    Je ne comprends pas tes notations. Lequel est l'ev et lequel est l'ensemble des opérateurs.

    Sinon si tu veux t'amuser avec les ev, tu n'as qu'à travailler dans en tant que -ev ; c'est bien marrant!

    p est bien entendu un nombre premier!
    Dernière modification par Bloud ; 10/03/2006 à 19h55.
    I was born intelligent...education ruined me!

  4. #33
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Bloud
    Je ne comprends pas tes notations. Lequel est l'ev et lequel est l'ensemble des opérateurs.
    F,V,+,.; désigne l'espace vectoriel V sur le corps F (c'est la notation qu'on nous a apprise au cours)

    Sinon on nous a déja un peu fait travailler avec des ev sur les corps finis (p premier) ou plus généralement ou F désigne un champ (corps commutatif) fini

    merci

  5. #34
    Bloud

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Je peux aussi définir l'e.v. :

    (n naturel)

    de dimension 2n

    Je dis des bêtises ?

    merci
    Salut,

    J'ai juste une question. Comment définis-tu la multiplication par un scalaire dans ce cas ? Et aussi, comment définis-tu ta seconde loi sur le corps ? J'ai du mal à voir.

    Merci d'avance.
    Dernière modification par Bloud ; 11/03/2006 à 12h23.
    I was born intelligent...education ruined me!

  6. #35
    Bloud

    Re : Espaces vectoriels

    Je n'ai rien dit.
    I was born intelligent...education ruined me!

  7. #36
    Bloud

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Bloud
    Salut,

    J'ai juste une question. Comment définis-tu la multiplication par un scalaire dans ce cas ? Et aussi, comment définis-tu ta seconde loi sur le corps ? J'ai du mal à voir.

    Merci d'avance.
    Il fallait bien entendu lire
    I was born intelligent...education ruined me!

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  9. #37
    Bloud

    Re : Espaces vectoriels

    C'est bon, plus la peine de répondre à mes questions. J'ai compris le truc.

    Merci.
    I was born intelligent...education ruined me!

  10. #38
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Ok mais je ne suis pas sûr de moi

    Tu peux peut-être confirmer que cela forme bien un e.v. ?

    merci

  11. #39
    Bloud

    Re : Espaces vectoriels

    Oui, pour ça il n'y a pas de problème, c'est bien un espace vectoriel. Comme tu l'as écrit les axiomes d'addition et de multiplication sont vérifiés. Et on bien qui est un groupe abélien.
    I was born intelligent...education ruined me!

  12. #40
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    D'accord merci (à la limite si le groupe n'avait pas été abélien ça n'aurait pas été grave non ? On aura alors eu un e.v. sur un corps non commutatif ...)

    merci

  13. #41
    homotopie

    Re : Espaces vectoriels

    Bonjour,

    1) (pour reprendre la notation qui n'a rien d'universelle) n'est pas un e.v.
    Tous les axiomes vérifiés? Sauf peut-être un : n'est un corps que pour n=1!
    2) Dans le dernier message il y a confusion entre l'addition du "corps" et de l'ev. Et, l'addition dans un corps non commutatif est abélien, seule la multiplication ne l'est pas. Dans un ev, l'addition est également abélienne.
    3) les 5 vecteurs de
    (1,-1,0,0,0,0),
    (1,1,-2,0,0,0),
    (1,1,1,-3,0,0),
    (1,1,1,1,-4,0),
    (1,1,1,1,1,-5)
    sont bien libres et engendrent donc bien un sev de dimension 5.

    Cordialement

  14. #42
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Aie.

    Quel est donc l'axiome qui n'est pas vérifié, par exemple pour ?

    J'ai beau vérifier tout me semble bon :

    Si je définis
    (a,b) + (c,d) = (a + b, c + d)
    (a,b)(c,d) = (ac,bd)

    alors :

    - forme bien un groupe commutatif

    - aussi

    On a bien pour a,b,c,d,e,f réels :



    merci

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  16. #43
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Ah mais je ne peux pas définir la multiplication de cette manière si je souhaite utiliser ce corps pour former un e.v sur C.

    Je suis obligé de poser :

    (a,b).(c,d) = (ac - bd, ad + cb)
    et alors R² ne formera plus un corps

    C'est bien ça qui n'allait pas n'est ce pas ?

    merci

  17. #44
    homotopie

    Re : Espaces vectoriels

    Le problème ne vient pas de "l'ev C".
    Le produit (a,b)(c,d) n'est pas une loi de groupe sur R²\{(0,0)} :
    (1,0).(0,1)=(0,0) donc ce n'est pas stable (il y a des diviseurs de 0, donc des éléments qui trivialement n'ont pas d'inverses)

    Les seuls corps qui sont des R-ev de dimension finie sont R, C et H (quaternions). Les produits ne sont pas le produit terme à terme qui donne des diviseurs de 0 dès qu'il y a plusieurs composantes.
    Avec les corps R,C, Q et les Z/pZ, il y a déjà de quoi travailler sur les ev. Une bonne partie des ev utiles en mathématiques sont sur ces corps. Si tu veux diversifier des exemples d'ev ce n'est pas sur le corps qu'il faut "travailler".

    Cordialement

  18. #45
    Bloud

    Re : Espaces vectoriels

    Ah oui! Je n'avais pas du tout réalisé!!! C'est vraiment évident en plus. Désolé de t'avoir induit en erreur Bleyblue. La prochaine fois, je ferai plus attention.


    Dimitri.
    I was born intelligent...education ruined me!

  19. #46
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Mais un espace vectoriel c'est toujours définit sur un coprs non ?

    Sinon pour le coup de (1,0).(0,1) = (0,0) c'est vrai que c'était évident, je n'y avais pas pensé ...

    merci

  20. #47
    homotopie

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Mais un espace vectoriel c'est toujours définit sur un coprs non ?
    merci
    Oui bien qu'il existe des généralisations mais qui ne sont donc plus des ev. (On évite généralement les structures à diviseurs de zéro quand même).

  21. #48
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Ah, c'est ça n'est pas triviale comme généralisation j'imagine ...

    merci

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  23. #49
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Dans l'espace vectoriel je considère les fonctions :

    f1(x) = sin x
    f2(x) = cos x
    f3(x) = sin²(x)
    f4(x) = cos²(x)
    f5(x) = cos(2x)
    f6(x) = 1

    et les parties S = vect{f1,f2,f3,f4}, T = vect{f5,f6}

    Je cherche à savoir si :

    a) S = T

    b)

    c)

    a) Je vérifie que les parties {f1,f2,f3,f4} et {f5,f6} forment une base de (respectivement) S et T
    De ce fait S est de dimension 4 et T de dimension 2 donc ça n'est pas possible

    b) S étant un sous espace vectoriel de dimension 4 il ne peut pas être contenu dans un sous espace de dimension 2 donc la réponse est non à nouveau

    c) Ici par contre il faut réfléchir un peu :

    Toute fonction de T appartient elle à S ?
    Soit f une fonction de T, elle s'écrira donc :

    f(x) = Acos(2x) + B (A et B des réels quelconques)

    oui mais on sait que



    donc f peut se réécrire :

    f(x) = 2Acos^2(x) + (B - A)

    Une fonction de ce type appartient-elle à S ? Oui car toute fonction de S s'écrit :

    acos(x) + bsin(x) + ccos²(x) + dsin²(x) (a,b,c,d des réels)

    et si on prend
    a = b = 0
    d = (B - A)
    c = (B - A + 2A)

    on obtient bien la fonction f(x)

    Donc la réponse est oui

    Si je récapitule cela donne :

    a)non
    b)non
    c)oui

    Pensez-vous que ce soit juste ou bien je me suis trompé quelque part ?

    merci

  24. #50
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Et si maintenant je considère l'espace vectoriel réel :

    (c'est à dire l'ensemble des couples polynômes (p(x),q(x)) tous deux de degré n) une base est bien donnée par :

    B = {(0,1),(1,0),(0,x),(x,0),(0,x² ),(x²,0) ... (0,xn),(xn,0)}

    n'est ce pas ?
    Donc l'e.v. est de dimension 2n ...

    merci

  25. #51
    rvz

    Re : Espaces vectoriels

    Salut,

    Oui, c'est tout à fait juste.

    Pour compléter :
    .

    __
    rvz, en stage en Espagne

    PS : Tiens, elle est chouette la nouvelle séparation, vous avez fait ça quand ?

  26. #52
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Ok merci (et merci aussi pour la propriété, je prends note )

    Sinon la nouvelle séparation on en parle depuis bien longtemps au debut du forum et alors cela fait un peu plus d'une semaine qu'elle est devenue opérationnelle (au début j'étais contre mais après coup c'est pas plus mal d'avoir deux sections rien que pour nous )

  27. #53
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Et puis tenez qu'est ce qui m'empêche de définir un ensemble avec des polynômes, non pas réelles mais rationnels ?



    l'espace vectoriel des polynômes de degré n rationnels muni de l'addition et de la multiplication scalaire habituels ?

    C'est bien un e.v non ?

    merci

    (P.S : personne n'a une idée pour mon problème de fonctions la (message 49) ? )

  28. #54
    rvz

    Re : Espaces vectoriels

    Bonjour,

    Oui, bien sûr, c'est un Q espace vectoriel, et il est de dimension n sur le corps Q évidemment.
    Attention, bientôt, tu te demanderas si les polynômes à coefficients dans Z et de degré plus petit que n forment un espace vectoriel, et la réponse sera non, car Z n'est pas un corps. Ca donne toute la théorie des A modules, avec A un anneau, la classification des groupes commutatifs, le lien entre équivalence de matrices et classes de similitude, etc. Attention, le cas des modules est bien plus compliqué que celui des espaces vectoriels, notamment parce qu'il n'y a pas forcément de base. Et pourtant je te mets au défi de chercher où le fait que k soit un corps intervient dans la théorie de la dimension

    Pour ton message 49, tout d'abord, les questions devraient être posées avec la a en dernier. Ensuite, je suis globalement d'accord. Pour la c , il suffit de montrer que tu peux obtenir f5 et f6 à partir des autres, et ça, c'est facile : sin^2 + cos^2 = 1
    cos^2-sin^2 = cos(2x)
    Donc il est clair que en fait, vect(cos(2x), 1) = Vect(sin^2, cos^2), et c'est clairement de dimension 2.
    Tu en déduis que S est inclus dans T trivialement.
    T n' est inclus dans S car tu ne peux pas exprimer sin en fonction de sin^2 et cos^2, mais ça nécessite une preuve que tu caches perversement dans ton a. Si
    sin(x) = a cos^2 + b sin^2,
    alors, en prenant x = 0, on obtient que a = 0. Donc sin serait de signe constant = signe de b, donc contradiction.
    Du coup, T est strictement plus gros que S, donc il n'y a pas égalité.


    _
    rvz

  29. Publicité
  30. #55
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Citation Envoyé par rvz
    Oui, bien sûr, c'est un Q espace vectoriel, et il est de dimension n sur le corps Q évidemment.
    Attention, bientôt, tu te demanderas si les polynômes à coefficients dans Z et de degré plus petit que n forment un espace vectoriel, et la réponse sera non, car Z n'est pas un corps.
    Oui je me suis déja posé la question et je suis tombé sur la même conclusion

    Citation Envoyé par rvz
    Pour ton message 49, tout d'abord, les questions devraient être posées avec la a en dernier. Ensuite, je suis globalement d'accord. Pour la c , il suffit de montrer que tu peux obtenir f5 et f6 à partir des autres, et ça, c'est facile : sin^2 + cos^2 = 1
    cos^2-sin^2 = cos(2x)
    Donc il est clair que en fait, vect(cos(2x), 1) = Vect(sin^2, cos^2), et c'est clairement de dimension 2.
    Tu en déduis que S est inclus dans T trivialement.
    T n' est inclus dans S car tu ne peux pas exprimer sin en fonction de sin^2 et cos^2, mais ça nécessite une preuve que tu caches perversement dans ton a. Si
    sin(x) = a cos^2 + b sin^2,
    alors, en prenant x = 0, on obtient que a = 0. Donc sin serait de signe constant = signe de b, donc contradiction.
    Du coup, T est strictement plus gros que S, donc il n'y a pas égalité.
    ok merci !

  31. #56
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Tiens pour un espace vectoriel V sur un corps C on parle bien du dual de V pour l'ensemble des formes linéaires de V vers C ?

    merci

  32. #57
    GuYem

    Re : Espaces vectoriels

    oui (avec du blabla entre parenthèses pour que le message soit assez long)
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  33. #58
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Ah bien, j'en apprends tous les jours (et moi la terminologie j'aime bien ça )

    merci

  34. #59
    Bleyblue

    Re : Espaces vectoriels

    Dites à propos de l'espace vectoriel (n naturel)
    Je peux considérer ça comme un espace vectoriel complexe de dimension n.

    Mais il est aussi possible de voir ça comme un espace vectoriel réel de dimension 2n non ?

    Par exemple pour C²

    (z1,z2) = (a + bi,c + di) = (a,b) + (c,d)i

    merci

  35. #60
    rvz

    Re : Espaces vectoriels

    Oui, tout à fait.
    Base canonique sur R =
    (1,0,0,...0), (i, 0,...0), (0,1,0,...0),(0,i,0,...) ...

    __
    rvz

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