Espaces vectoriels

[Bleyblue]

D'accord merci !
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[Bleyblue]

C'est amusant parceque je peux prendre un opérateur sur C,C², déterminer sa matrice dans la base canonique et ensuite regarder ce que cette matrice devient sur R,C².
Elle s'agrandit (vu que les dimensions sont doublées) et les complexes deviennent tous des réels (vu que le champ des complexes fournissant les scalaires est remplacé par le champ des réels)

[invite986312212]

les choses deviennent plus amusantes encore quand on fait intervenir la multiplication complexe. Par exemple tu peux essayer de visualiser des courbes algébriques de C^2 vu comme C-ev de dimension 2.

[Bleyblue]

Tiens mais si je prend par exemple :

f : C² -> C² : (x,y) -> (ix,y + x)

Ca sous entend qu'on travaille sur C,C² et non pas sur R,C² n'est ce pas ? Cette application ne voudrait rien dire sur R,C² vu qu'ici i est un scalaire et les scalaires sur R,C² sont des réels

Par exemple tu peux essayer de visualiser des courbes algébriques de C^2 vu comme C-ev de dimension 2.

C'est quoi donc une courbe algébrique ?

merci

[invite986312212]

C'est quoi donc une courbe algébrique ?

une courbe définie par une équation polynômiale à deux variables, par exemple un "cercle" x^2+y^2=r^2, mais avec x,y,r complexes.

[Bleyblue]

ah bon.

Mais si je prend la courbe C d'équation x² + y² = 1 sur C² alors (1,0) et (0,1) appartiennent à la courbe mais pas (1,0) + (0,1) = (1,1)

J'ai comprit de travers ?

merci

[invite6b1e2c2e]

C'est pour ça qu'on dit courbe. Ce n'est pas un espace vectoriel ...
Mais, si tu regardes l'équation x^2 + y^2 = 0, dans R, il n'y a que le point (0,0), alors que sur C, tu as les deux droites d'équations x + iy = 0, x-iy = 0.
Et tu peux construire plein d'exemples où en fait, C est un corps bien plus sympathique que R....

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rvz

[Bleyblue]

ah oui c'est chouette.

Et alors je peux représenter de telles droites dans le plan d'Argand-Cauchy. Des droites complexes

[Bleyblue]

Et si maintenant je considère l'espace vectoriel réel :

(c'est à dire l'ensemble des couples polynômes (p(x),q(x)) tous deux de degré n) une base est bien donnée par :

B = {(0,1),(1,0),(0,x),(x,0),(0,x² ),(x²,0) ... (0,xⁿ),(xⁿ,0)}

n'est ce pas ?
Donc l'e.v. est de dimension 2n ...

merci

Je viens de me rendre compte (en relisant le topic) que c'est faux parceque que est dimension non pas n mais (n + 1)
Donc l'e.v. est de dimension 2n + 2

Et tant qu'a généraliser eh bien :



est de dimension p(n + 1)

J'ai établis ça il y a bien longtemps (un mois), mais c'était par souci de ne pas laisser traîner d'erreur