Espaces Vectoriels

[invite4af5c33a]

Bonjour!

J'ai découvert ce forum par hasard en cherchant quelques cours et j'ai été très impressioné par ce que l'on pouvait y trouver! Alors je fais un petit post avec pas mal de questions sur les EV, en espérant que quelqu'un aura le courage d'y répondre (oui il va y en avoir pas mal :P)

1) Pour commencer, j'ai un exercice avec un intitulé assez étrange... "dire si les ensembles suivants sont des SEV de R-ev "connus" " ... Qu'appelle-t-on des R-ev connus? une idée?

2) Dans ce même exo, il faut donc dire (en justifiant) si G= { } est un SEV, mais j'ai un peu de mal avec les EV de polynômes.. déjà c'est bien les polynômes à coeff réels de degrés 2 ?

Je commence par dire que le polynôme nul appartient bien à G (trivial, il vaut zéro pour tout X donc pour 2 aussi)

Ensuite, je prends
puis je regarde
d'où
autrement dit
ce qui me donne un nouveau polynôme, appelons-le R, je n'ai plus qu'à faire


mais comment conclure? est-ce que cela peut faire 0 ?

Bon déjà ca, je continuerais les questions après :P
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[invitedf667161]

Salut, tu te compliques la vie comme souvent quand on commence avec ces notions.

Si tu prends P et Q dans ton ensembles et a un scalaire (que tu as appelé lambda), alors (aP+Q)(2) c'est par définition :
(aP+Q)(2) = aP(2) + Q(2) = 0+0 = 0

(il y a une blague à faire dans ce message, sauras-tu la retrouver ?)

[invite4af5c33a]

Merci GuYem c'est vrai que c'est beaucoup plus simple comme ca (ca me semble même un peu trop simple pour un exo de contrôle continu.... bref), mais sinon est-ce qu'avec mon raisonnement j'aurais pu conclure?

3) Après j'ai un problème avec les dimensions... en particulier pour calculer la dimension de ce G. Pour la trouver il suffit de dire que la dimension est n si n+1 vecteurs sont liés, correct? seulement si je prends , à chaque fois ils sont toujours libres? Donc la dimension n'est pas finie? Mais comment bien rédiger la démonstration? :/

4) Soit une base de H, on pose et on considère L sev de engendré par Montrer que :

a)

J'ai essayé de montrer que H était SEV de L, mais c'est un peu simpliste comme démonstration je suppose.
Le vecteur nul de L c'est le vecteur nul de , comme H est sev de le vecteur nul est dans H.

Donc

Mais pour dire que , je pense qu'il faut utiliser les dimensions, mais comment trouver la dimension de L? on ne sait pas grand chose sur lui... enfin on sait que {u,v,w} engendre L donc il faudrait montrer que c'est libre ainsi on aurait une base et dim L = 3, mais on a pas les valeurs de u et v, difficile à résoudre...






Soit, les coeff sont nuls donc la famille est libre, soit u et v sont nuls et on ne sait rien sur les coeff....

[invite2ece6a9a]

Pour lespace G , on sais que c'est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel formé par les polynomes de degres 2.

R²(X) a pour dimension 3 ( 1,X,X² formant une base)

il faudrait peut etre mettre p(2)=0 sous une autre forme (en fonction des coeef) et en deduire une partie generatrice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4af5c33a]

Je tente quelque chose

Tout élément de H s'écrit sous la forme

Autrement dit est une base de H, et donc sa dimension est 3... hmm? ca m'a l'air un peu débile, ca marche?

EDIT: Ah en fait on peut pas en déduire directement que c'est une base non? Là ca me donne que {1,2,4} engendre H, mais il resterait à prouver qu'elle est libre....

Oh bah non puisque dim H = dim , montrer génératrice ou libre suffit !