Groupe modulaire et volume

[martini_bird]

Salut,

est le demi-plan de Poincaré et est le groupe modulaire, qui agit à gauche sur par les homographies. On dispose de plus d'une mesure sur invariante sous l'action de , à savoir .

A la page 74 de Automorphic Forms and Representations, D. Bump propose le calcul du volume de par la méthode de Rankin-Selberg (un truc pas simple avec des séries d'Eisenstein modifiées).

Mais je voulais savoir si le calcul de ne pouvait pas se faire directement, sachant qu'un domaine fondamental est par exemple

?

Car j'ai simplement écrit que



et je trouve bien (réponse donnée dans l'exo).

Il y a une erreur de raisonnement qui m'aurait échappé, car je ne vois pas trop l'intérêt de sortir l'artillerie lourde pour ça ?

Merci d'avance.
-----

[invitef4181796]

Je ne vois pas moi non plus pourquoi ton raisonnement ne serait pas juste (mais je n'y connais pas grand chose). Est ce que ce calcul n'est pas donné comme une illustration de la méthode de Rankin Selberg?

Peut etre le chapitre 3 de la thése ci dessous peut t'interessser?

http://arxiv.org/pdf/math.NT/0602186

http://emmanuel.pedon.free.fr/maths/GT.htm

P.S: si tu trouves, est ce que tu peux poster un mot pour dire ce qu'il en est?

[martini_bird]

Salut,

Est ce que ce calcul n'est pas donné comme une illustration de la méthode de Rankin Selberg?

Si, mais je trouve que c'est prendre un mega-bulldozer pour ouvrir une noix... C'est la raison qui m'a fait douter de la validité de la démarche directe.

Bon ben je vais essayer de digérer la méthode de Rankin-Selberg...

Merci pour les liens !

[invite8f53295a]

Effectivement c'est beaucoup plus compliqué que la méthode simple (il me semble qu'il y a même une formule de géométrie hyperbolique qui donne l'aire d'un triangle hyperbolique) et le seul rapport avec la méthode de Rankin-Selberg est l'utilisation de séries d'Eisenstein.
En fait l'intérêt est qu'en général intégrer des fonctions contre des séries d'Eisenstein nous donne des fonctions L et que souvent les valeurs de ces fonctions L en certains points donnent des nombres intéressants, par exemple ici le volume d'un espace.

A mon avis cette méthode devient avantageuse pour calculer le covolume de groupes plus compliqués que , et remplace la recherche d'un domaine fondamental par le calcul d'une valeur spéciale de fonction L (ici c'est la fonction zeta).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4181796]

Effectivement c'est beaucoup plus compliqué que la méthode simple (il me semble qu'il y a même une formule de géométrie hyperbolique qui donne l'aire d'un triangle hyperbolique)

On peut utiliser Gauss Bonnet? Mais est ce que pour ce cas précis la méthode simple ne te semble pas correcte?

[invite8f53295a]

On peut utiliser Gauss Bonnet? Mais est ce que pour ce cas précis la méthode simple ne te semble pas correcte?

Si si, elle est parfaitement correcte !