Espaces vectoriels...

[invitebb921944]

Bonjour !
Bon dans ce post, je poserai toutes mes questions sur les espaces vectoriels de dimension finie ou infinie, normés, préhilbertiens ou euclidiens !

Déjà première question :

Vect(B) est le plus petit sous espace vectoriel de E contenant B.

B est ici une partie de E.

Je me demandais : Peut-on dire que E est un ensemble ?
Car B en est un si je ne m'abuse, mais B n'est pas un espace vectoriel.
Sinon pourquoi ne pas dire que Vect(B)=B ?
Peut-être parce qu'on peut choisir B de manière à ce qu'il ne contienne pas l'élément nul ?
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

E EST un ensemble, mais il est muni d'une structure particulière, celle d'espace vectoriel. En maths, en général (i.e. excepté les catégories et la théorie des ensembles), tous les objets sur lesquels tu travaille sont des ensembles munis d'une structure particulière : Groupes, espaces vectoriels, espaces métriques, algèbres de Banach, ...

Le problème est que, quand tu prends B une partie de E, il n'a pas de structure sympathique (ou au moins sympathique pour la propriété que tu étudies), donc tu regardes le plus petit ensemble qui contient B et qui est un espace vectoriel.

C'est exactement pareil que quand tu regardes les groupes engendrés par une partie, même la fermeture d'un ensemble ...

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rvz

[invitebb921944]

Et un espace vectoriel c'est l'ensemble des points de l'espace défini par la structure en question ?

[invite6b1e2c2e]

Non, ce n'est pas un ensemble défini par une structure, c'est un ensemble MUNI d'une structure.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

pour prendre un exemple simple :

C a une structure d'espace vectorielle sur le corps R.

si on veux calculer Vect( {i} ), {i} n'est pas un espace vectorielle (il ne contien pas d'element neutre, n'est pas stable ni pour l'adition, ni pour la multiplication par un reel)

il se trouve que le plus petit sous-espace vectorielle contenant i est l'ensemble des nombre imaginaire (qui lui est un espace vectorielle : contien 0, stable par les deux loi etc...)


on a Vect(B)=B seulement si B est un espace vectorielle.

[invitebb921944]

Alors qu'est-ce qui différencie deux espace vectoriels exactement ? Désolé de t'embêter mais en fait j'essaie d'avoir une vision géométrique du truc pour mieux comprendre et c'est pas super instinctif au départ

[invitebb921944]

Bon bah merci beaucoup à vous deux !
En gros, il n'est pas toujours possible d'imaginer un espace vectoriel géométriquement étant donné qu'il peut être un ensemble d'objets complètement différents (e-v de suites, de fonctions, de vecteurs (mais pa de scalaires) etc...) ?

[invite4ef352d8]

ba si tu a un espace de dimension 2 ou 3, tu peut toujour te le representer comme le plan ou l'espace (mais pas une parti du plan hein, tu a forcement le plan entier)

si tu a un espace de dimension finit, tu peut continuer a le voir comme un espace geometrique (mais tu peut plus faire de dessin... enfin a moin que tu sache dessiner en 12 dimension mais faudrat m'expliquer comment tu fais )


en revanche si tu a un espace de dimension infinit, comme l'ensemble des fonctions tu peut plus vraiment le visualiser...

[invite4ef352d8]

mais sinon pour repondre a "qu'est ce que differenci deux espace"

et bien si ils sont de meme dimension ils sont isomorphe, donc ils sont quasiment identique, la seul chose qui change c'est la facon dont tu designe les element...

[invitebb921944]

(mais tu peut plus faire de dessin... enfin a moin que tu sache dessiner en 12 dimension mais faudrat m'expliquer comment tu fais )

C'est possible de construire ça rigoureusement en mathématiques (sisi j'ai déjà vu !!!) Ok j'avoue, je ne sais pas le faire !

Bah merci beaucoup !

[invite4793db90]

Salut,

de toute façon le plus simple pour se représenter un espace de dimension 12 c'est de visualiser en dimension n et de faire n=12.

[invitebb921944]

N'hésitez pas à me faire part de vos astuces du genre, ce sont ces petits plus qui vont élever ma conscience à un niveau supérieur

[invite4ef352d8]

certe c'est possible de le representé


mais a ce niveaux je trouve que d'imaginer R^12 est plus clair que le dessin quand meme...