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logarithme et entier naturel



  1. #1
    MATHIX

    logarithme et entier naturel

    Bonjour à tous,

    ma question est peut être un peu bête...
    mais bon je la pose quand même.

    je pense qu'il n'existe pas d'entier naturel p (différent de 1) tel que ln(p) soit un entier naturel .

    mais comment le démontrer?

    -----


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  3. #2
    GuYem

    Re : logarithme et entier naturel

    Si ln p = q avec p et q entiers alors p = exp(q).

    Or il me semble que pour qu'un nombre (ici e) élevé à une certaine puissance entière non nulle (ici q) soit entier, il faut que le nombre de départ soit entier.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    rvz

    Re : logarithme et entier naturel

    Salut,

    Juste une suggestion :
    Si ln(p) = k, alors exp(k) = p
    Or

    Et je suis sûr qu'on peut jouer avec cette expression pour montrer que exp(k) est irrationnel, en s'inspirant de la preuve que e est irrationnel.
    Un truc du type :

    Faut quand même vérifier cette inégalité, mais après, ça doit impliquer ce qu'on veut.

    EDIT : C'est vrai ce truc, Guyem ?
    __
    rvz

  5. #4
    GuYem

    Re : logarithme et entier naturel

    Euuuh je sais pas si c'est vrai !

    Mais je vois pas comment en multipliant un truc pas entier par lui-même un certain nombre de fois on pourrait tomber sur un entier...
    Attention des fois je dis des bétises
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. #5
    MATHIX

    Re : logarithme et entier naturel

    merci rvz je pense que ta démonstration doit marcher.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    rvz

    Re : logarithme et entier naturel

    D'accord, dis moi si elle marche vraiment si un jour tu l'écris.
    Sinon, je serai curieux d'avoir un commentaire d'un arithméticien sur le sujet (théorème ?) évoque par Guyem.

    __
    rvz

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  10. #7
    martini_bird

    Re : logarithme et entier naturel

    Citation Envoyé par rvz
    Sinon, je serai curieux d'avoir un commentaire d'un arithméticien sur le sujet (théorème ?) évoque par Guyem.
    Salut,

    Théorème de Gelfond-Schneider.

    Mais c'est un peu le bulldozer pour ouvrir une noix...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  11. #8
    martini_bird

    Re : logarithme et entier naturel

    Plus simple: si était rationnel avec p entier, alors e serait algébrique.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #9
    rvz

    Re : logarithme et entier naturel

    Je comprends pas Martini !

    Les hypothèses de Gelfond Schneider ne sont pas vérifiées ici, ou bien je craque complétement ?
    De plus,ça doit être plutot compliqué de montrer que e n'est pas algébrique...

    __
    rvz

  13. #10
    A1

    Re : logarithme et entier naturel

    Salut !
    Veuillez excuser mon ignorance ... mais qu'est ce qu'un nombre algébrique ?

    __________________________
    A1

  14. #11
    Danorane

    Re : logarithme et entier naturel

    Salut !

    Un nombre algébrique est un nombre qui est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers.

  15. #12
    martini_bird

    Re : logarithme et entier naturel

    Citation Envoyé par rvz
    Je comprends pas Martini !

    Les hypothèses de Gelfond Schneider ne sont pas vérifiées ici, ou bien je craque complétement ?
    Non tu ne craques pas, je suis parti un peu vite.

    De plus,ça doit être plutot compliqué de montrer que e n'est pas algébrique...
    Oui ce n'est pas trivial: théorème de Hermite (1873). Mais pour le problème posé, on n'a bien sûr pas besoin de tout ça.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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