Définition du logarithme naturel ...

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai déja reçu plusieurs leçons concernant les logarithmes et exponentielles (en rhéto (en terminale), en fac. de médecine, dans mon bouqin d'analyse) et j'ai eu deux défintions du logarithme néperien :

1) (celle que j'ai reçue en réto) : Comme on ne connait pas de primitives de la fonction 1/x on en définit une grâce au théorème fondamental de l'analyse et donc :



Et la fonction exponentielle est définie comme la réciproque de celle ci.

2) (celle que j'ai reçue dans le Stewart et en fac. de médecine) : Il s'agit simplement de la réciproque de la fonction exponentielle de base e. Celle ci est remarquable car elle est égale à sa dérivée ...

Ces définitions sont elles équivalentes ? Y a il une différence ? Y en a il une qui est plus pertinent que l'autre ... ?
Moi la première me plait plus en tout cas ...

Merci
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[invitec314d025]

Il n'y a évidemment pas de différence au sens où ces définitions diverses définissent la même fonction. On peut même donner d'autres définitions.
Il n'y en a pas qui me paraisse plus naturelle que les autres.
Que tu commences par définir la fonction exponentielle ou la fonction logarithme népérien, ça ne change pas grand chose.

[inviteab2b41c6]

Cependant en analyse complexe on ne peut pas vraiment définir de log de manière aussi propre et qui vérifie toutes ces propriétés. On doit se servir de la 2e définition pour avoir un prolongement partiel du log.

Note aussi que ln est la seule fonction continue sur R+* vérifiant:
ln(xy)=ln(x)+ln(y)
ln(e)=1

il me semble...

[invitef591ed4b]

Moi, je n'aime pas quand on définit des notions en gommant le contexte historique de leur apparition. Historiquement parlant, le logarithme népérien est apparu ± comme ceci :

• D'abord, y a eu la découverte du logarithme (en base quelconque). Au début, le logarithme n'était même pas un vrai logarithme (Neper a effectivement inventé un "logarithme", mais il n'avait rien à voir avec le logarithme actuel), mais peu à peu les définitions se sont peaufinées pour finalement atterrir sur le vrai logarithme en base quelconque.

• Ensuite, Grégoire de St-Vincent a calculé l'aire sous la courbe y=1/x, et a remarqué que cette aire est de type logarithmique. En notant l'aire sous la courbe entre 1 et a par A[a], St-Vincent a démontré que : [b]A[ab] = A[a] + A. Le nombre e est parfois très timidement présent implicitement dans certains calculs, mais personne ne le remarque explicitement.

• Bernouilli commence à étudier les fonctions exponentielles ...

• C'est ensuite que le nombre e a été défini explicitement. Cependant, le contexte de son apparition explicite n'a rien à voir avec les logarithmes. Leibniz le cite explicitement dans une lettre adressée à Huygens, et Euler en donne une définition sous forme de série et de limite :




• Et par la suite, mais ici je suis moins sûr, lorsque viennent les travaux des analystes du 19e siècle, ils font le parallèle entre la notion de primitive de y=1/x et l'aire sous cette courbe (vue comme logarithme chez St-Vincent). On peut alors définir le nombre e comme étant tel que l'aire sous la courbe y=1/x, entre 1 et e, vaut 1. Par le théorème fondamental, cette aire est obtenue à partir de la fonction primitive, et on nomme celle-ci "logarithme népérien". Elle satisfait donc aux conditions :
- ln (ab) = ln a + ln b (par St-Vincent)
- ln 1 = 0, ln e = 1 (par le théorème fondamental, et le choix de e pour avoir une aire valant 1).

Puis avec tout ce qui précède, y a facilement moyen de voir les exponentielles de Bernouilli comme étant les "inverses" des fonctions logarithmes définies ci-dessus, et alors on fait le lien entre toutes les propriétés indépendantes de e découvertes par plusieurs mathématiciens pendant plusieurs siècles ...

L'histoire de e et des logarithmes montre bien que les maths sont intrinsèquement cohérentes, et l'homme ne fait que découvrir cette cohérence presque magique

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Note aussi que ln est la seule fonction continue sur R+* vérifiant:
ln(xy)=ln(x)+ln(y)

Oui, si je me souvient bien, on nous a dit à l'époque que la fonction ln a été inventée pour cette raison. On en avait besoins en naviguation je pense ...

Bah sinon notre prof de rhéto était très attaché à l'histoir des math, donc il n'a pas gommé ... mais je n'en ai pas parlé parce que je ne me m'en souvient plus très bien ...(merci pour le rappel )

Bon, il n'empêche que moi je préfère la définition à partir de l'intégrale définie, elle me semble plus rigoureuse ...

Merci bcp à tous

[invitee65b1c3d]

En fait, il existe plusieurs définition rigoureuses du logarithme.

La définition par intégrale :

Cette définition a pour défaut de ne pas être généralisable à C

La définition comme réciproque de la fonction exponnentielle. La fonction exponentielle pouvant être définie de nombreuses manière différente (solution de l'équation différentielle y'=y valant 1 en 0, série entière, limite de suite etc....)

La définition par la propriété de morphisme continu :

Note aussi que ln est la seule fonction continue sur R+* vérifiant:
ln(xy)=ln(x)+ln(y)
ln(e)=1

Toutes ces définitions sont aussi rigoureuses les unes que les autres (elles demandent toutefois de montrer que l'on définit bien une unique fonction ln)

[Bleyblue]

Ah oui, le ln est appelé un morphisme car il transforme des produits en sommes ?

Ehhh, je viens de penser à quelque chose, si on définit une primitive de 1/x grâce au théorème fondamental, rien ne nous empêche de faire de même avec d'autres fonctions non ?

On pourrait par exemple exprimer :



à partir d'une fonction usuelle que l'on aurait inventer et définie grâce au théorème fondamental ... ou alors je dis des bêtises ?

Merci

[invitec314d025]

Ah oui, le ln est appelé un morphisme car il transforme des produits en sommes ?

La notion de morphisme est un peu plus générale que ça, elle ne concerne pas obligatoirement l'addition et la multiplication, mais l'idée générale est bien là.

Ehhh, je viens de penser à quelque chose, si on définit une primitive de 1/x grâce au théorème fondamental, rien ne nous empêche de faire de même avec d'autres fonctions non ?

On pourrait par exemple exprimer :



à partir d'une fonction usuelle que l'on aurait inventer et définie grâce au théorème fondamental ... ou alors je dis des bêtises ?

Si ce que tu veux dire est juste "nommer" cette fonction, alors rien ne t'en empêche bien sûr. De là à ce que ça devienne une fonction usuelle ...

[Bleyblue]

Mais ne pourrait ont pas définir une certaine fonction qui en soit la primitive et ensuite définire ses propriétés etc ... comme on le fait poue le ln ?

Je ne sais pas, je demande ça comme ça ...

[invitec314d025]

Du moment que ça donne lieu a des propriétés intéressantes, pourquoi pas. Il existe beaucoup de fonctions qui sont définies de cette manière, il n'y a pas que le logarithme. D'autres sont définies comme des sommes de séries, il n'y a pas de limite à l'imagination

[Bleyblue]

Ah bon ... ok merci bien

[azt]

On pourrait par exemple exprimer :



à partir d'une fonction usuelle que l'on aurait inventer et définie grâce au théorème fondamental ... ou alors je dis des bêtises ?

Merci

Pas du tout, dès qu'une formulation est très utilisée on lui associe une fonction.

Comme cette fonction apparait souvent en traitement du signal, on a défini ainsi le sinus intégral :



et il en est de même pour le cosinus intégral :

[Bleyblue]

ahhhh ben oui.
Mais en fait je suis idiot, nous avons déja utilisé la la fonction de répartition :



en probabilité, mais la on ne lui associait pas une expression particulière

Et heu, cosinus intégrale avec un cos non (tu as mis un sin) ?

Merci

[invite4793db90]

Salut,

http://mathworld.wolfram.com/CosineIntegral.html

Sinon, la fonction exp(-t²/2) n'admet pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.

A+

[invite88ef51f0]

Salut,

C'est presque la fonction Erf :
http://mathworld.wolfram.com/Erf.html

[azt]

Oups, oui tout a fait,
AZT toujours aussi distrait...

[Bleyblue]

Ah oui ok.
Sinon j'ai une autre question :

Soit par exemple la primitve :



inexprimable à partir de fonction usuelles (on l'admet) .

Si je tente d'intégrer par partie je trouve :

f = ln|cos(x)| df = - tg(x)
dg = 1 g = x

et donc on tombe sur :



Puis je en conclure que la fonction xtg(x) n'admet pas non plus de primitives exprimables (étant donné que c'est le cas pour ln|cos(x)| ) ? Intuitivement je dirais que oui mais ...

Merci

[invite4793db90]

Pour confirmer ton intuition, fait un petit raisonnement par l'absurde: si une primitive de x tan(x) était exprimable à l'aide des fonctions usuelles, qu'en serait-il de ta première primitive?

[Bleyblue]

Elle le serait aussi, or on sait qu'elle ne l'est pas.
Je l'avais déja fait ce raisonnement (suis pas complètement idiot ) mais je me demande si c'est valable ... apparament oui

Merci