Entier naturel

[invite693d963c]

Bonjour,

Je voudrais montrer que

2/n(n+n)(n+2) = 1/n -2/n+1 +1/n+2

Merci
-----

[invite8241b23e]

Salut !

Tu as pensé à mettre le membre de droite au même dénominateur ?

[invite693d963c]

Je vais essayer

[invite693d963c]

Donc...

1/n -2/n+1 +1/n+2 = 1(n+1)/n(n+1) -2(n)/n(n+1) +1/(n+2)

Apèrs plusieurs simplification je ne trouve pas de bon résultat

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8241b23e]

Il faut que tu mettes tout le membre de droite sous un seul et unique dénominateur commun. Pour savoir lequel, regarde le membre de gauche !

[invite693d963c]

Alors,

2/n(n+1)(1+2) = 1(n+1)(n+2)/n(n+1)(n+2) -2(n)(n+2)/n(n+1)(n+2) + 1(n+1)(n+2)/n(n+2)(n+1)

[invite8241b23e]

Ben il faut mettre tout sous la même barre de fraction, et voir si ça se simplifie.

[invite693d963c]

4n² +10n+4/ n²+2n +1n+ 2
4n²+8n+2 /n²+n

Soit jme suis gourer, soit jsui nul en calcul de somme

[invite8241b23e]

Alors,

2/n(n+1)(1+2) = 1(n+1)(n+2)/n(n+1)(n+2) -2(n)(n+2)/n(n+1)(n+2) + 1(n+1)(n+2)/n(n+2)(n+1)

Voilà où est l'erreur !

[invite693d963c]

Merci je vais verifier

[invite8241b23e]

J'ai essayé, et ça doit marcher !

Par contre, fais gaffe, au niveau de la rédaction, tu n'as pas le droit de marquer dès le début l'égalité. Tu dois écrire le membre de droite seul, le manipuler, et prouver après qu'il était égal à la partie de gauche.

[invitef3dee274]

Salut...Je ne suis pas sur que tu ai bien exprimé ta question surtout au niveau des prioritées d'opération... mais je vais essayer de t'aider selon ce que tu demande et de la manière dont tu la écris.

2/n(n+n)(n+2) = 1/n -2/n+1 +1/n+2

Je vais réécrire ta question sous une forme plus simple et facile à lire toujour selon les bonne prioritées d'opérations...par exemple 2/n (n+n)... le n+n multiplie le 2 et non le n selon un bon language mathématique...si tu veu qu'il multiplie le n tu doit écrire 2/(n(n+n))

2(n+n)(n+2)/n=(1-2+1)/n +1+2
2(2n)(n+2)/n=0/n+3
4n(n+2)=3... c'est ce que je pensais... tu a mal écris ta question...je vais essayer de t'aider maintenant avec ce que je CROIS comprendre de ta question

2/n(n+n)(n+2) = 1/n -2/n+1 +1/n+2
tu voulais dire....
2/(n(n+n)(n+2))=1/n-2/(n+1)+1/(n+2)?????? et est tu sur que c'est n+n et non n+1...
car avec n+1 cela marche facilement...
2/(n(n+1)(n+2))=1/n-2/(n+1)+1/(n+2)
2/(n(n+1)(n+2))=((n+1)(n+2)-2n(n+2)+n(n+1))/((n(n+1)(n+2))
2/(n(n+1)(n+2))=(n²+3n+2-2n²-4n+n²+n)/((n(n+1)(n+2))
2/(n(n+1)(n+2))=2/((n(n+1)(n+2))

[invite693d963c]

Lany je vient de comprendre que dans les maths faut avoir l'oeil depuis ce matin j'étais sur ce calcul qui me paraissait complexe qu'alors que en fin de compte c'est une erreur de mon énoncé

[invite693d963c]

Donc on démontre comment calculer une somme litéral mais si je veut l'appliquer concrètement sur une suite de calcul de somme numérique :

1/(2x3x4) +1/(3xx4x5) +1/(4x5x6) +...+1/(30x31x32)

Donc 1/(2x3x4) = 1/((2(2+1)(2+2))

De cela comment je peux faire pour avoir une expression simple de cette somme

[invitef3dee274]

bah reprend ta question....
2/(n(n+1)(n+2))=1/n-2/(n+1)+1/(n+2)
donc
1/(n(n+1)(n+2))=(1/n-2/(n+1)+1/(n+2))/2
1/(n(n+1)(n+2))=(1/(2n)-2/(2(n+1))+1/(2(n+2))
donc
1/(n(n+1)(n+2))+1/((n+1)(n+2)(n+3))+1/((n+2)(n+3)(n+4))+...+1/((n+x-1)(n+x)(n+x+1))
=
(1/(2n)-2/(2(n+1))+1/(2(n+2)))+(1/(2(n+1))-2/(2(n+2))+1/(2(n+3)))+(1/(2(n+2))-2/(2(n+3))+1/(2(n+4)))+...+(1/(2(n+x-1))-2/(2(n+x))+1/(2(n+x+1)))...
=
1/(2n)-2/(2(n+1))+1/(2(n+2))+1/(2(n+1))-2/(2(n+2))+1/(2(n+3))+1/(2(n+2))-2/(2(n+3))+1/(2(n+4))+...+1/(2(n+x-1))-2/(2(n+x))+1/(2(n+x+1))...

généralisation
1/(n(n+1)(n+2))+1/((n+1)(n+2)(n+3))+1/((n+2)(n+3)(n+4))+...+1/((n+x-1)(n+x)(n+x+1))
=(1/(2n)-1/(2(n+1))-1/(2(n+x))+1/(2(n+x+1))...x étant l'avant dernier nombre qui additionne n dans la suite... les autres termes s'annulent:Bravo1
donc pour en revenir à ton cas ta somme donne
(1/(2n)-1/(2(n+1))-1/(2(n+x))+1/(2(n+x+1))=
1/4-1/6-1/66+1/68=31/374 Ça l'air charger mais en réalité c'est pas si dur...

[invite693d963c]

(1/(2n)-1/(2(n+1))-1/(2(n+x))+1/(2(n+x+1))

Je vois pas pourquoi tu ouvre les guillemets au début ?
Il y aurais t-il un moyen de verifier notre calcul de somme pour savoir si cela est bon

Merci a vous

[invitef3dee274]

en passant c'est une parenthèse et non des guillemets et effectivement elle est inutile des fois je fesait copier coller une ligne et changeait des terme et l'a j'ai oublié de l'enlevé...mais cela ne change en rien le raisonnement derrière le problème lol!

[invite693d963c]

ok merci ^^

Si je complique le calcul :

A = 1²-2²+3²-4²+...+2001²-2002²+2003²-2004²+2005²

Deja les carré pose problème ainsi que les "+" et les "-"

je peux appliquer seulement la propriété n(n+1)/2 donc cela fait bien n²(n²+1)/2 ???

[invite693d963c]

Sachant que ,

A = 2+4+6+8+...+(2k) = k(k+1)
B = 1+3+5+...+(2k+1) = (k+1)²


Que peut ton déduire de
C = 1²-2²+3²-4²+...+2001²-2002²+2003²-2004²+2005²

On peut utiliser la propriété n(n+1)/2 ou sinon d'une manière generale ( n-p+1)(Un+Up)/2

Le problème est la présence de signe positif et négatif qui ne permet pas d'utiliser cette propriété, surement une variante ainsi que cette suite de calcul de somme qui est élever au carré

Merci

[invitef3dee274]

salut! J'ai essayé de résoudre ton problème mais selon une tout autre logique... la voici:
Exprimons notre suite comme somme de plusieurs différence de carré

(1²-2²)+(3²-4²) etc...


(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)
3*-1+7*-1

Le 2e terme, comme les nombres se suivent, est toujours -1

Nous avons donc, en résumé, à additionner la somme de tous les nombre et de les multiplier par -1 si le dernier signe est un - . Si le dernier est un +, nous additionnons tous les terme sauf le dernier,
les multiplions par -1 et additionnons à cela le dernier terme à la 2


Pausons X comme le premier chiffre de la suite et K le dernier


1)si le dernier signe est un -

-1(la somme de tous les nombre)

la somme des nombre=moyenne de tous ces nombre * le nombre de nombres
comme ils se suivent...

moyenne des nombres =(k+x)/2

nombre de nombre=k

Somme=k(k+x)/2)

Le résultat est donc
-k(k+x)/2)

Si le dernier signe est un +, alors...

moyenne des nombre sauf le dernier=(k-1+x)/2
nombre de nombre sauf le dernier=k-1-x+1=k-x
SOmme=(k-1)(k-1+x)/2

Le résultats est donc
-(k-x)(k-1+x)/2+k²

simplifier(sans faire la preuve...essayer nous même si vous ne me faites pas confiance)

(k²+k-x+x²)/2

Ce que j'avais pensé avant était de trouver la règle de la suite A=1²+3²+5²......
et celle de B=2²+4²+6²...
et ensuite de faire A-B qui donnerais la suite C soit
1²-2²+3²-4²....

mais je n'ais malheureusement pas réussi avec cette méthode

[invitef3dee274]

à tu une autre idée magstellon?

[invitea7fcfc37]

Salut,

Si tu ne connais pas la somme des k², tu peux la calculer ainsi :

On sait que l'on a :

(1)

d'où l'on tire :

(2)

qui est équivalent à :

(3)

en mettant tout au même dénominateur :

(4)

ou mieux :

(5)

PS : le passage de 2 à 3 fait intervenir des sommes télescopiques.

[invite693d963c]

Tes explications sont beaucoup trop poussé pour un élève de 2nd

[invite693d963c]

Sachant que ,

A = 2+4+6+8+...+(2k) = k(k+1)
B = 1+3+5+...+(2k+1) = (k+1)²

On élève A et B au Carré
A= ( k(k+1) ) ²
B= (k+1)^4

On soustrait A - B = [ ( k(k+1) ) ² ] - [ (k+1)^4 ]
Et on trouve cette la réponse a cette suite ?

[invite693d963c]

Ou sinon , le formule de n(n+1)/2
2005²(2005²+1²)/2 =4020025.5 = racine de 2005
je peut conclure que 1+2+3+...+2003+2004+2005 = 4022030 = racine de 2005

[invitef3dee274]

non tu doit prendre ma méthode avec les différence de caré ...tu ne peu metre ta somme au carré comme ça

[k(k+1)]² n'égale pas 2²+4²+6²+8²...
mais plutot (2+4+6+8...)² ce qui est très différent

deplus je ne comprend pas ton dernier message...
1+2+3+...+2003+2004+2005 n'égale pas 4022030

c'est simple tu fait (2005+1)/2=1003

il y a 2005 terme...1003*2005=2011015 ça c'est la somme de 1+2+3+...+2003+2004+2005

deplus d'où tu sort 4022030 = racine de 2005 c'est loin d'être égale...