bonjour,
j´ai besoin d´une petite précision sur la norme d´un entier de gauss:
J´ai trouvé sur Wikipédia:
La norme d´une entier de Gauss a + bi est l´entier naturel
N(a+bi) = a^2 + b^2.
Est-ce exacte? Je m´attendais à une racine carrée...
merci d´avance
christophe
Bonjour,
Effectivement, la norme définie ainsi n'est pas une norme au sens de l'analyse, puisque tu n'as pas N(az )= |a|N(z) pour a dans un bon ensemble (disons N) .
Cela dit, les entiers de Gauss forment un ensemble qui a une structure de Z module, et c'est tout. Ce n'est ni un espace vectoriel, ni un corps, donc pourquoi vouloir à tout prix adapter la définition qu'on a sur les espaces vecoriels ?
En plus, c'est plus pratique de se passer de la racine carrée, puisqu'ainsi tu obtiens un nombre entier...
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rvz
Salut !
Oui c'est bien la bonne définition. Plus généralement, si tu as un polynôme irréductible P sur Q, et que tu regardes ses racines x_1, ... x_n dans C, tu disposes de certains morphismes de permutation des racines qui s'étendent en un morphisme d'algèbre de Q{x_1,...,x_n} (ça généralise la conjugaison) et alors la norme d'un élément de ce corps, c'est le produit de ces conjugués, et ça appartient à Q.
Exemple : si P = T^2 + T + 1, les racines sont j et j^2, et un nombre qui s'écrit a + bj a une norme égale à (a + bj )(a+bj^2) = a^2 - ab + b^2
[Edit : grillé par rvz !]
bon ben merci à vous 2, je vais méditer sur la chose, à priori, je ne comprend pas tout de suite le rapport avec les polynômes, et les morphisme, tout ça.... peut-être parcequ´il me manque les bases. Je vais voir.
christophe
l'intérêt de cette définition (sans la racine carrée) c'est que la norme est un entier, et comme la norme d'un produit est le produit des normes, tu vois tout de suite le parti qu'on peut en tirer, par exemple un entier algébrique ne peut être inversible que si sa norme est 1. Et si la norme est un nombre premier, etc.
