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Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions



  1. #1
    Bleyblue

    Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions


    ------

    Bonjour,

    Un ordre sur un ensemble E m'est donné sous forme de diagramme de Hasse et je dois trouver les relations ordre totale qui étendent cet ordre (à tous l'ensemble)

    Ceux-ci par exemple : Enoncé

    Voici ce que moi je trouve pour le diagramme 2 :Solution

    Pouvez vous me dire si c'est juste ? En gros il faut essayer méthodiquement toutes les possibilités pour étendre l'ordre en un ordre totale

    merci

    -----

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  4. #2
    homotopie

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Bonjour,
    pas de "chance" il en manque un.
    Indice : une "vraie" relation est-elle imposée entre b et c autre que sur le 1er diagramme de Hasse c soit au-dessus de b (de manière artificielle) ?
    Sinon, je ne suis pas un spécialiste des représentations en diagrammes de Hasse, mais je crois que la représentation de tes diagrammes peuvent (doivent?) être allégée. Si m<n<p on ne représente que m-n et n-p sans représenter m-p, non?
    D'ailleurs l'utilité d'un diagramme de Hasse pour un ordre total est un peu limité.
    Pour le 3 : ton énoncé te demande de les compter (ce qui va relativement vite) pas de les représenter (ce qui doit être "barbant").

    Cordialement

  5. #3
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Ah mais comment pourrais-je compter le nombre d'extensions sans faire leur diagramme ?

    Citation Envoyé par Homotopie
    Si m<n<p on ne représente que m-n et n-p sans représenter m-p, non?
    Mais si je ne représente que m-n et n-p alors j'aurai que m<n et n<p mais pas m<p (< représente bien la relation de couverture) non ?

    Je vais trouver de voir celui qui manque

    merci !

  6. #4
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    j'aurai que m<n et n<p mais pas m<p (< représente bien la relation de couverture) non ?

    Si car la relation d'ordre est transitive, c'est pourquoi on ne represente pas la relation entre m et p.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Citation Envoyé par jreeman
    Si car la relation d'ordre est transitive, c'est pourquoi on ne represente pas la relation entre m et p.
    Je sais bien mais la ligne entre deux éléments a et b ne représente pas aRb (ce n'est pas un graph dirigé) mais bien la relation de couverture entre a et b.

    Mais à bien y réfléchire si b couvre a et que et que c couvre b alors c ne peut pas couvrire a vu que que par définition un élément t couvre un élément s si

    tRs et il n'existe pas de z tel que tRz et zRs

    Je crois que je commence à ne plus rien comprendre
    Je vais essayer de revoire mes notes

    merci

  9. #6
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Dites les relations de couverture entre éléments elle doivent être conservées ?
    En d'autres termes si a<b dans l'ordre est-ce que a<b aussi dans l'ordre extension ?

    merci

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  11. #7
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Citation Envoyé par moi
    Je sais bien mais la ligne entre deux éléments a et b ne représente pas aRb (ce n'est pas un graph dirigé) mais bien la relation de couverture entre a et b.

    Mais à bien y réfléchire si b couvre a et que et que c couvre b alors c ne peut pas couvrire a vu que que par définition un élément t couvre un élément s si

    tRs et il n'existe pas de z tel que tRz et zRs
    En vertu de ces remarques, les diagrammes que j'ai dessinés n'ont aucun sens

    Mais alors je ne vois pas comment faire pour créer une relation d'ordre extension qui conserve en plus les relations de couverture

    merci

  12. #8
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Mais ce n'est pas possible ça, conserver la relation de couverture
    La seule chose qui est requise (je pense) c'est que si aRb dans l'ordre alors aRb aussi dans l'extensions et alors ça devient facile.

    Pour le 2) les possibilités sont :

    (je dessine les diagrammes horizontalement de la gauche vers la droite par souci de facilité, mais normalement il est verticale du bas vers le haut)

    (1) a-b-c-d
    (2) a-c-b-d
    (3) a-b-d-c
    (4) b-a-c-d
    (5) b-a-d-c

    Et c'est tout. On ne peut pas avoir, par exemple :

    b-c-a-d

    parce qu'alors on aurait plus aRc (mais cRa).

    Ca-va mieux comme ça ?

    merci

  13. #9
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Pour le 3) s'il faut dessiner tous les diagrammes ça risque d'être long. On a par exemple :

    f
    |
    e
    |
    d
    |
    c
    |
    b
    |
    a

    mais tout ce qu'on veut c'est que a,b et c soient tous en relation avec d,e et f, l'ordre n'importe pas. Il faut juste que d,e et f soient au dessus de a,b et c.

    Il y a 3! = 3.2 = 6 permutations des éléments a,b et c. De même il y a 6 permutations des éléments d,e et f.

    Ca nous fait 6.6 = 36 diagrammes possibles
    N'est ce pas ?

    merci

  14. #10
    homotopie

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Bonsoir,
    oui c'est ça (2 posts précédents) bravo.

    Bonne continuation

  15. #11
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    merci bien !

  16. #12
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Un petit exercice, le n°1 ici :

    http://www.ulb.ac.be/facs/sciences/m...o/Aout02sd.pdf

    Il est évident que c'est un ordre (pas totale) et pas une équivalence mais pour l'extension ordre totale comment dois-je faire ?

    Si je prend mSn ssi vu que forcément :

    1) S est un ordre total
    2) S contient R vu que si m divise n alors forcément m est plus petit ou égale à n.

    Ca marche ça ?

    merci

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  18. #13
    homotopie

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Si je prend mSn ssi vu que forcément :

    1) S est un ordre total
    2) S contient R vu que si m divise n alors forcément m est plus petit ou égale à n.

    Ca marche ça ?

    merci
    mRn (m divise n) implique-t-il toujours que ? Il y a un piège.
    Sinon petite remarque : (N,R) a un maximum mais pas

  19. #14
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Ah oui mince j'ai boulié le zéro.

    Mince alors, qu'est-ce que c'est que ça pour une question. Comment suis-je sensé trouver un ordre total contenant R comme ça moi ?

    merci

  20. #15
    homotopie

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Ah oui mince j'ai boulié le zéro.

    Mince alors, qu'est-ce que c'est que ça pour une question. Comment suis-je sensé trouver un ordre total contenant R comme ça moi ?

    merci
    Pas de panique :
    1) l'ordre classique est une extension totale de l'ordre R "divisible par" pour N\{0}
    2) 0 est un maximum pour R
    il suffit de changer la "place" de zéro qui est de surcroît imposée.

  21. #16
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Oui j'avais comprit ça je pense mais à moins de poser comme convention que zéro est égale à + l'infini je ne vois pas comment faire.

    merci

  22. #17
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Comme ça ça irait je pense :

    mSn <=> (m n et k < 0 pour tout k naturel)

    merci

  23. #18
    homotopie

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Comme ça ça irait je pense :

    mSn <=> (m n et k < 0 pour tout k naturel)

    merci
    Il 'y a aucun couple qui vérifie mSn avec cette définition. Tu cherches bien compliqué.
    Le "0=" peut troubler mais l'idée y est. Sinon il suffit de définir ainsi :


    Précision (je pense que tu t'en étais rendu compte mais...) : il y a une infinité de manière d'étendre l'ordre partiel "m divise n" à un ordre total. Cette extension est la plus simple à décrire.

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  25. #19
    Bleyblue

    Re : Diagrammes de Hasse, ordre totaux extensions

    Ah oui, mais en fait j'avais comprit l'idée mais je ne suis pas parvenu à l'exprimer

    merci !

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