bonjour, je suis bloqué sur une question idiote de division euclidienne de 2 polynômes. Tout d´un coup je ne sais plus par où m´y prendre parceque le dénominateur a un degré > au numérateur. Je sais, c´est tout bête, mais ma méthode usuelle ne marche plus...
en l´occurence:
P= 4x^2 -3x -4
Q:= x^3 - 3x^2 + 2x
comment on fait dans ces cas là?
merci d´avance
Salut,
c'est comme si tu cherchais à écrire la division euclidienne de 2 par 5... 2=5x0+2 !
Cordialement.
En effet P = 0xQ + P avec 0 <= d°P < d°Q.
ben euh... oui, en effet, je sais pas... pourtant j´avais rien bu, je le jure...
ce serait mieux si tu écrivais l'énoncé de l'exo car la seule chose qui viens à l'esprit quand je vois une fraction rationnelle, c de la mettre sous la forme d'une somme de fractions ayant chacune pour dénominateur les différents facteurs du polynôme Q (tu factorises au maximum Q)
j'espère que ça va t'aider, mais je ne suis quand même pas sûre que tu n'ais pas bu un petit verre de trop.
ben oui, t´as raison, c´est exactement de ça qu´il s´agissait dans l´exo: de mettre un fraction rationnelle sous forme de fractions simples. J´ai essayé d´appliquer la mauvaise "recette", dans laquelle il est dit qu´il faut d´abord trouver la "partie régulière" de la fraction, donc de faire la division euclidienne de P par Q. J´ai pas pensé qu´en quelque sorte la division euclidienne est "déjà faite" puisque dans ce cas précis P = 0*Q + R.
Non franchement j´avais pas bu (peut-être que j´aurais dû...) simplement un petit coup de fatique...
Mais à ce sujet j´ai une question d´un autre ordre: j´ai donc vu comment décomposer une fraction rationnelle en "éléments simples". Ce qui m´étonne, c´est que ces éléments simples sont sous la forme de polynômes du second degré quand il s´agit de complexes. Pourquoi ne pousse-t-on pas la décomposition plus loin. Ca serait possible non? puisse qu´un polynôme du second dégré complexe a toujours 2 racines. Je m´explique:
Dans IR on décompose comme ca, dans le cas où Q a 3 racines:
P/Q= a/(x-x1) + b/(x-x2) + c/(x-x3)
Dans le corps des complexes on a les "éléments simples":
P/Q= a/(x-x1) + (bx+c)/(x^2 + dx + e)
ou quelquechose comme ca.
Pourquoi cette différence? pourquoi de décompose-t-on pas "plus loin"?
Je me réferre au sîte suivant:
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?s...+block=fracrat
Fractions rationnelles
Voilà, j´espère que cette question est un peu plus intelligente que ma première.
merci d´avance
christophe
Salut,
Je ne sais pas qui t'as dit que les éléments simples sur C pouvaient être de degré 2. Comme ton intuition te le suggère, les éléments simples sur C ne font apparaître que des polynômes de degré 1 au dénominateur, ou des puissances d'un polynôme de degré 1.
NB : Ca ne marche évidemment pas sur R, où tu as des polynômes irréductibles de degré 2, ni sur Q, où c'est un gros bordel...
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rvz
Ça me fait penser que hier, en préparant® ma leçon sur les fractions rationnelles, j'ai retrouvé un truc super que j'avais vu en sup :
Par exemple, pour décomposer
en éléments simples sur R, je fais la division euclidienne en T de T10 par T2+ T+1-y. Ensuite je réécris le reste comme un élément de (R[T])[y], je divise par y4 et je pose y = T2+ T+1. Et le tour est joué.
En fait, ça me permet de faire plein de divisions euclidiennes en une seule. Je trouve ça joli, pas vous ?
ben euh.... je trouverai ça joli quand j´aurai pigé ton truc, mais je vais y méditer.
c´est quoi ce (R[T])[y]?
Tu peux donner un exemple?
Ca veut dire que tu considère le reste comme un polynôme en y dont les coefficients sont des polynômes en T.
La méthode est jolie, mais ça fait une grosse division euclidienne avec beaucoup de risques d'erreur.
