Division euclidienne

[invitee3040769]

Salut tout le monde....
Mon problème se situe au niveau de la démonstration de l'énoncé de la division euclidienne. En effet il est dit que pour tout couple d'entier(a,b) b!=o il existe un unique couple d'entier (q,r) tel que a=bq+r

Comment le montrer? Bon en classe on a eu l'idée de considérer l'ensemble E des multiples de b non-nuls et strictement inférieurs à a....Mais procéder ainsi me laisse un goût amer dans la bouche. Alors je voudrais savoir si quelqu'un peut montrer d'abord l'existence du couple (q,r) puis son unicité

Merci, d'avance.....
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[invitebd97d45d]

Salut !

Existence du couple :
Distingue 2 cas :
1er cas : a multiple de b
2ème cas : a non multiple de b (donc a compris entre 2 multiples de b)

Unicité du couple :
Supposons qu'il existe 2 couples (q,r) (q',r') d'entiers relatifs vérifiant :
a = bq + r avec 0 =< r < b (1)
et a = bq' + r' avec 0 =< r < b. (2)

Multiplie par (-1) le (2) (n'oublie pas le sens d'inégalité) et fais (1) - (2)
Exprime r en fonction de a, b q et r' en fonction de a, b, q',
Soustraie les deux.
On en déduite l'encadrement suivant : -b < b(q'-q) < b
Donc b(q' - q) = 0
Alors b = 0 ou q'-q = 0. Comme b !=0 par hyp, alors q'-q = 0 ou encore q'=q
Pour la suite je crois qe c'est assez facile.

@+

[invitec314d025]

Pour l'existence, il y a pas mal de méthodes. Tu peux faire une récurrence sur a avec b fixé.
D'abord montrer simplement l'existence pour tout a strictement inférieur à b.
Ensuite tu prends a >= b et comme hypothèse de récurrence l'existence de la Division euclidienne pour tout entier a' < a et tu montres alors l'existence de la DE pour a.

Il y a beaucoup d'autres méthodes, mais perso je préfère celle-là.