Nilradical

[invite4828decb]

Bonjour,

J'aimerai savoir ce que l'on peut dire sur : le nilradical d'un anneau commutatif.

Je peux dire que le nilradical est un ideal, que le nilradical d'un anneau quotienté par son nilradical et "nul", et que l'anneau quotienté par son nilradical n'est pas integre.

(je ne dois pas parler du fait que le nilradical est l'intersection d'ideaux premiers, car ça serrait considéré comme hors sujet..)

J'ai cherché sur internet ms je n'ai pas trouvé assez pour en parler pendant un oral. Je pense chercher des lundi a la bibliotheque universitere, ms en attendant j'aimerai savoir si vous pouvier m'eclairer un peu?

J'ai lu un sujet parlant du nilradical sur ce forum ms je pense que la trigonalisation serra aussi un hors sujet.

Merci
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[invite4793db90]

Salut,

que le nilradical d'un anneau quotienté par son nilradical et "nul",

c'est plutôt trivial: n'importe quel ensemble quotienté par lui-même n'est pas très gros...

et que l'anneau quotienté par son nilradical n'est pas integre.

C'est faux: un anneau sans nilpotent est dit réduit et un anneau intègre est forcément réduit.

Pour prendre un exemple: le nilradical de Z/12Z est (isomorphe à) Z/6Z et le quotient est Z/2Z qui est un corps.

Sinon, tu cherches quoi en particulier? Des situations dans lesquelles on a besoin de réduire un anneau?

Cordialement.

[invitedf667161]

Salut.

Vous pouvez donner la définition du nilradical d'un anneau pour voir si je peux vous suivre un peu ?

[invite4793db90]

Salut,

Le nilradical est l'ensemble des éléments nilpotents (i.e. des tel qu'il existe un entier n strictement positif pour lequel ). C'est aussi l'intersection des idéaux premiers.

Bien à toi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4828decb]

Bonsoir,

Premierement, merci de m'avoir repondu!

Et en effait je cherche ce que je peut dire de plus en ce qui concerne le nilradical d'un anneau commutatif (sans parler du fait que c'est l'intersection des ideaux premiers).
J'aimerai bien savoir a quoi peut effectivement servir de quotienté par le nilradical? (cad reduire)
Tout ce que j'avais ennoncé ds mon message été ds mon cours, et effectivement c "trivialité" me semble pas assez pour faire un oral de 20 min.

J'ai regardé sur le livre de Bourbaki cette aprem et visiblement ça n'est pas un sujet tres developpé

Sans parler de l'oral, j'aimerai bien qd meme comprendre en quoi ce sujet été important eu point de ne pas l'inclure "le nilradical est l'intersection des ideaux premiers" ?!?

Voilà, je continue a reflechir sur le sjt, ms merci d'y avoir preté attention ! (je me repete ms bon...)

[invite4793db90]

Salut,

J'aimerai bien savoir a quoi peut effectivement servir de quotienté par le nilradical? (cad reduire)

Ca sert à se débarasser des éléments nilpotents et c'est moins bourrin que d'abélianiser (supprimer tous les diviseurs de zéro): tu devrais peut-être préciser dans quelle voie tu cherches des informations (algèbre, géométrie algébrique, géométrie arithmétique, ...) et surtout à quel niveau.

Cordialement.

[invite4828decb]

Re bonsoir,

C'est en algèbre, niveau M1.

J'ai trouvé un rapport avec les elements inversibles, si a un elements nilpotents alors 1-a est inversible ou avec b inversible alors b+a est aussi inversible.

c'est interressanta dire ça?

[invite4793db90]

Salut,

pourquoi pas, d'ailleurs ça se montre très facilement si tu considère l'anneau quotient: le la classe de 1 est 1 et la classe d'un inversible b est inversible...

Cordialement.