Extensions de corps

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai eu mon premier cours de géométrie la tantôt et nous avons appris comment étendre Q avec un irrationnel, par exemple :



Vous savez si ce procédé peux s'appliquer à nimporte quel corps ? En d'autres terme j'ai un corps, je trouve un élément A extérieur à ce corps et je définis un nouveau corps correspondant aux éléments de la forme {a + bA} avec a,b dans le corps de départ ?

Bref, le professeur nous a demandé d'essayer de démontrer ceci :



Pouvez-vous jeter un oeil à ma démo ? Je ne sais pas si elle est valable :

Soit q un élément de l'ensemble précité. Alors q peut s'écrire de deux manières :




a,b,a',b' rationnels

et démontrer que q est rationnel revient à montrer b=b'=0 et donc a=a'=q (juste hein ?)

Bon, on a bien sûr :



équivalent à :



Comme le membre de gauche est rationnel le membre de droite doit l'être aussi. La seule possibilité est que b = b' (est-ce suffisament évident ou dois-je approfondir ça ?)

Ensuite on déduit très facilement a = a' (vu que (a - a') = 0) et de la :



c'est à dire b = 0

Le professeur est très pointilleux (aux examens pleins de points perdu à cause de fautes de rigueur) donc n'hésitez pas à me signaler un passage scabreux.

merci
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[invite6b1e2c2e]

Soit q un élément de l'ensemble précité. Alors q peut s'écrire de deux manières :




a,b,a',b' rationnels

et démontrer que q est rationnel revient à montrer b=b'=0 et donc a=a'=q (juste hein ?)

Bon, on a bien sûr :



équivalent à :



Comme le membre de gauche est rationnel le membre de droite doit l'être aussi. La seule possibilité est que b = b' (est-ce suffisament évident ou dois-je approfondir ça ?)

Ca c'est scabreux !
Tu fais comment pour le démontrer ?

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rvz

[Bleyblue]

Mince c'est nimporte quoi.
Je vais reprendre à partir de là

merci

[Bleyblue]

Voilà je reprends à partir du passage scabreux et je rectifie le tire :

On veut que avec c rationnel.

On élève au carré :



donc



Soit b' = 0 OU b = 0 et alors il est facile de montrer que b' ET b sont nuls.

Soit ce n'est pas le cas et alors j'isole racine(6) la dedans et j'ai rationnalisé ce dernier ce qui n'est pas possible vu qu'il est irrationnel (je ne dois pas démontrer ça vu que racine(6) = racine(3).racine(2) et que racine(2) est irrationnel)

Donc b' = 0 et b = 0 donc a = a' = q.

Ca marche ça n'est ce pas ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Non, désolé ça ne marche pas, tu as fait l'erreur classique suivante : Les irrationnels ne forment pas un corps ! Tu peux très bien multiplier 2 nombres irrationnels et obtenir un nombre rationnel. D'accord, ici, ça revient à copier la preuve de l'irrationnalité de racine de 2, donc ce n'est pas grave, mais quand même...
Au passage, je donne une autre preuve.
Tu as
avec a b et c rationnels. Tu multiplies par la forme conjuguée.

Et donc, si c est non nul, on peut se ramener au cas c=1 (quitte à multiplier a et b par des bonnes constantes) comme la matrice A =
a b
a -b
est inversible dans GL(2)(Q) (qui est bien un corps)(Une matrice inversible à coefficients dans un sous corps a son inverse à coefficients dans le sous corps, cf la formule transposée de la comatrice, ou inverse d'une matrice est un polynôme en la matrice de départ via le polynôme caractéristique etc)
Donc, si c est non nul, tu peux exprimer racine de 2 et racine de 3 comme A^-1 (c ; 2 a^2-3 b^3) et donc les deux sont rationnels.
Donc c = 0
Donc
En multipliant a et b par leurs dénominateurs, et en les divisant après par leur pgcd, tu obtiens une relation entre entiers premiers entre eux. Evidemment, la multiplication par la forme conjuguée donne 2a^2 =3 b^2 ce qui est impossible par un raisonnement élémentaire d'arithmétique (par exemple compter les puissances de 2).

Certes, ça parait un peu plus compliqué que ce que tu dis, mais je trouve jolie de faire apparaître racine de 2 et racine de 3 rationnels via un petit raisonnement matriciel. Et puis de toute façon, faut finir avec un peu d'arithmétique, donc ça revient au même. En plus, la forme conjuguée est souvent une jolie manière de voir les choses : Ca peut notamment donner une division euclidienne ou des choses comme ça. Je te laisse aller voir le Perrin (Daniel) Cours d'Algèbre si tu es intéressé.

__
rvz

[Bleyblue]

Ah oui, original, je ne m'attendais pas à voir apparaître des matrices.
Sinon je n'ai qu'a montrer que racine de 6 est irrationnel et ma démo est bonne aussi en fait.
ok

En plus, la forme conjuguée est souvent une jolie manière de voir les choses : Ca peut notamment donner une division euclidienne ou des choses comme ça. Je te laisse aller voir le Perrin (Daniel) Cours d'Algèbre si tu es intéressé.

J'ai un cours d'algèbre qui a commencé en parallèle avec le cours dé géométrie donc je vais probablement voir des choses dans ce goût la très bientôt

merci bien !

[invite6b1e2c2e]

Ah oui, original, je ne m'attendais pas à voir apparaître des matrices.
Sinon je n'ai qu'a montrer que racine de 6 est irrationnel et ma démo est bonne aussi en fait.
ok

Oui oui bien sûr. Je l'ai pensé très fort dans mon précédent post, mais c'est vrai que je ne l'ai pas écrit très clairement. (attention à la dérive sur l'incommunicabilité des êtres )
De toute façon, il est clair que ta démo est la plus naturelle, et en ce sens, elle est peut-être meilleure que la mienne.

__
rvz

[Bleyblue]

D'accord, merci !