Pb avec les espaces vectoriels normés

[invite15231a7c]

Bonjour
J'ai un exo de colle a refaire pr la rentrée mais voila, je pense que ce que je dois démontrer est en fait faux!
Pourriez vous me dire ce que vous en pensez?
voici l'exo : E=R², N1 et N2 deux normes sur E
Bi={s€E/Ni(s)=<1}
H<v>:E->E
x->v*x
avec k€R+*
Montrer que N1=<k*N2 équivaut à H<1/k>(B2) C B1
Pr moi, l'implication => est vraie mais pas sa réciproque !
Merci d'avance
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[invitec12706a7]

Salut !

J'espère qu'il n'est pas trop tard, sinon, j'espère que tu auras trouvé la bonne réponse entre temps:

les deux implications sont vraies !

Puisque tu as trouvé la première, il ne reste que la deuxième:

Soit x € R², alors x/N2(x) € B2 (car de norme 2 égale à 1)

ainsi, H<1/k>(x/N2(x))=(1/k)*(x/N1(x)) € B1

donc, 1 ≥ N1((1/k)*(x/N2(x))=(1/k)*(N1(x)/N2(x)) et en multipliant par N2(x)*(1/k) on obtient: k*N2(x) ≥ N1(x) □

Voilà !

Je trouve que la notationde la fonction H<v> vraiment bizarre, c'est de toi ou du cours ?