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Pb avec les espaces vectoriels normés



  1. #1
    guapa84

    Bonjour
    J'ai un exo de colle a refaire pr la rentrée mais voila, je pense que ce que je dois démontrer est en fait faux!
    Pourriez vous me dire ce que vous en pensez?
    voici l'exo : E=R², N1 et N2 deux normes sur E
    Bi={s€E/Ni(s)=<1}
    H<v>:E->E
    x->v*x
    avec k€R+*
    Montrer que N1=<k*N2 équivaut à H<1/k>(B2) C B1
    Pr moi, l'implication => est vraie mais pas sa réciproque !
    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    Jedeki

    Salut !

    J'espère qu'il n'est pas trop tard, sinon, j'espère que tu auras trouvé la bonne réponse entre temps:

    les deux implications sont vraies !

    Puisque tu as trouvé la première, il ne reste que la deuxième:

    Soit x € R², alors x/N2(x) € B2 (car de norme 2 égale à 1)

    ainsi, H<1/k>(x/N2(x))=(1/k)*(x/N1(x)) € B1

    donc, 1 ≥ N1((1/k)*(x/N2(x))=(1/k)*(N1(x)/N2(x)) et en multipliant par N2(x)*(1/k) on obtient: k*N2(x) ≥ N1(x) □

    Voilà !

    Je trouve que la notationde la fonction H<v> vraiment bizarre, c'est de toi ou du cours ?
    2+2=4.17985

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