Espaces vectoriels normés

[matthias]

Une question qui me travaille en ce moment.
Bon je vous rassure, ça m'empêche pas de dormir la nuit.

Tout espace vectoriel peut-il être normé ?

Je m'explique. En partant d'un espace vectoriel quelconque, peut-on toujours construite une norme sur cet espace ? Si oui, comment le montrer ?
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[matthias]

Petite précision.
En dimension finie, la réponse est oui, c'est facile à montrer.

[hedron]

Tout espace vectoriel peut-il être normé ?

Oui. Prends une base. Introduis la "norme infinie" sur cette base (max des valeurs absolues des coordonnées). Variante : la norme p pour p compris entre 1 et l'infini (inclus).

Cet espace vectoriel normé n'est alors pas complet (sauf en dimension finie).

[inviteca3a9be7]

Bonjour,


si tu admet que tout espace vectoriel admet une base (Zorn and co.) alors oui.

E un ev, B=(e_i) une base, x = sum a_i*xi, il suffit de poser |x|=sum |a_i|

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

j'ai pas dit que c'était un espace vectoriel sur IR.
A moins de définir une valeur absolue sur n'importe quel corps ...

[martini_bird]

j'ai pas dit que c'était un espace vectoriel sur IR.
A moins de définir une valeur absolue sur n'importe quel corps ...

Salut,

tu as néanmoins une solution si tu disposes d'une norme sur le corps de base!
En passant et par curiosité, tu as des exemples de corps non normés ou non métrisables?

Pour revenir à ta question, je me demande bien ce que l'on peut dire si on n'accepte pas l'axiome du choix... Question intéressante.

Cordialement.

[matthias]

Salut,

tu as néanmoins une solution si tu disposes d'une norme sur le corps de base!

Oui, tu as raison. D'autant plus que sans norme sur le corps de base, je vois pas bien ce que pourrait signifier la propriété :
N(k.u) = |k|.N(u)
je crois que j'ai un peu merdé

En passant et par curiosité, tu as des exemples de corps non normés ou non métrisables?

Pas d'exemple, c'était une question ouverte.

Pour revenir à ta question, je me demande bien ce que l'on peut dire si on n'accepte pas l'axiome du choix... Question intéressante.

Désolé j'ai la migraine

[invite440f64b5]

si tous les espaces étaient normés il n'y aurait pas d'intérêt à créer ccette propriété.

Un ev normé est un ev où toutes les normes sont équivalentes.Et en dim finie toutes les normes sont équivalentes...

[inviteca3a9be7]

Bonjour,

>> Un ev normé est un ev où toutes les normes sont équivalentes

Ah ?

[matthias]

Un ev normé est un ev où toutes les normes sont équivalentes.

C'est nouveau ça ?

[invite440f64b5]

non c'est pas nouveau, c'est une grosse connerie.
chuis content de la faire maintenant pluto qu'au concours...

[matthias]

Effectivement, ça vaut mieux

[Gwyddon]

au fait , comment vous prouvez la convergence de |x|=sum |a_i| ? (cf posts précédents, pour définir une norme tout au début du fil)

parce que là je ne vois pas trop ..

[hedron]

Bonsoir

au fait , comment vous prouvez la convergence de |x|=sum |a_i| ? (cf posts précédents, pour définir une norme tout au début du fil)

Dans une base, par définition, et même en dimension infine, tout vecteur n'a qu'un nombre fini de coordonnées non nulles.

[Gwyddon]

oups.. évidemment que je suis bête !

[invite84c87f84]

Je vais réagir sur un poste relativement ancien qui m'a interpellé.

Bonsoir
Dans une base, par définition, et même en dimension infine, tout vecteur n'a qu'un nombre fini de coordonnées non nulles.

Hmmm...un nombre fini de coordonnées sont non-nulles pour tout élément d'un espace vectoriel de dimension infinie?
C'est Faux.
Prends une fonction périodique et décompose-la en série de Fourier.
[Projection sur la base constituée des Exp(i*n*x) dans un espace hermitien]. Certes les coordonnées tendent vers 0 quand n tend vers +infini mais n'en restent pas moins non-nulles

[Gwyddon]

Non c'est bien juste.

Les ne forment donc pas une base des fonctions 2pi-périodiques.

Cf http://www.les-mathematiques.net/b/e/e/node5.php3

et cliquer sur les * pour avoir la définition complète d'une base.

[martini_bird]

Salut,

on va être bien embêter pour utiliser la théorie de Fourier alors!

Sans rire, un élément d'un espace de Hilbert (disons , l'espace des fonctions réelles 1-périodiques de carré sommable) peut admettre une infinité de projections non-nulles sur les éléments d'une base (ici les ). (Considère par exemple, la fonction périodique dent de scie x → x)

Par ailleurs, je crois me souvenir d'un fil où l'on parlait d'une erreur voisine dans une des pages des mathematiques.net... (je n'arrive pas à le retrouver; Quinto s'en souvient peut-être)

Cordialement.

[GuYem]

Il me semble içi qu'il y a confusion entre base algébrique et base hilbertienne ; ce qui n'est pas du tout la mème chose!
Une base hilbertienne n'est pas une base au sens algébrique du terme, pour Fourier on travaille avec des bases hilbertiennes en effet.

[Gwyddon]

C'est exactement ce à quoi je pensais, merci d'avoir donné le nom

PS : martini, tu confirmes ou infirmes mon post ? Parce que ce n'est pas super clair..

[martini_bird]

C'est exactement ce à quoi je pensais, merci d'avoir donné le nom

PS : martini, tu confirmes ou infirmes mon post ? Parce que ce n'est pas super clair..

J'infirmais!

Mais j'avais en tête la notion de base hilbertienne...

Merci à GuYem.

[GrisBleu]

Bonjour

C est bien, avec ce forum on est moins bete chaque jour (aujourd hui, perso, pour avoir appris la distinction entre base algebrique et hilbertienne )
Sinon y a cette reference
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AI...9__1__61_0.pdf
page 6 en bas, a propos d espace non normable, ils ne sont meme pas "tartes"

[inviteca3a9be7]

Salut,

>> page 6 en bas, a propos d espace non normable

Je crois qu'il y a deux problèmes distincts :
- savoir si on peut mettre une norme sur n'importe quelle e.v. (c'était la question originale je crois)
- savoir si, étant donnée une topologie sur un e.v. qui en fait un e.v. topologique, on peut trouver une norme qui définisse cette topologie.

[GrisBleu]

Salut

Je crois avoir lu y a longtemps dans un bouquin sur les distributions que les espaces de fonctions sur des ouverts n etaient pas normables en soit. Que par contre des semi normes existaient et qu on definissait des (une ?) topologie avec ca.

C est tout flou, je vais essayer de retrouver ca chez moi, pas sur de revenir a la fac d ici lundi (typhon sur tokyo puis coupure d elec ce WE)

[invite84c87f84]

Non c'est bien juste.

Les ne forment donc pas une base des fonctions 2pi-périodiques.

Cf http://www.les-mathematiques.net/b/e/e/node5.php3

et cliquer sur les * pour avoir la définition complète d'une base.

En fait je n'ai pas été très précis 9Jul85. Bien sûr, une base possible pour les fonctions T-périodiques est l'ensemble des (bon, avec bien sûr un certain nombre d'autres contraintes dont j'avoue que je ne me rappelle plus très bien. J'ai fini la prépa en 98...c'est dire...)

Pour en revenir au fond du problème, il n'est donc pas erroné de dire que dans une base hilbertienne, il existe des vecteurs (fonctions par exemple) qui ont des coordonnées toutes non-nulles dans cette base.
On est bien d'accord?

[GrisBleu]

En fait je n'ai pas été très précis 9Jul85. Bien sûr, une base possible pour les fonctions T-périodiques est l'ensemble des (bon, avec bien sûr un certain nombre d'autres contraintes dont j'avoue que je ne me rappelle plus très bien. J'ai fini la prépa en 98...c'est dire...)

Pour en revenir au fond du problème, il n'est donc pas erroné de dire que dans une base hilbertienne, il existe des vecteurs (fonctions par exemple) qui ont des coordonnées toutes non-nulles dans cette base.
On est bien d'accord?

Salut

ex : Si je prends une base hilbertienne
et le vecteur
la somme existe car le serie converge (c est bien comme ca que ca marche ?)

[Gwyddon]

En fait je n'ai pas été très précis 9Jul85. Bien sûr, une base possible pour les fonctions T-périodiques est l'ensemble des (bon, avec bien sûr un certain nombre d'autres contraintes dont j'avoue que je ne me rappelle plus très bien. J'ai fini la prépa en 98...c'est dire...)

J'insiste : ce n'est pas une base au sens algébrique du terme, c'est une base hilbertienne.

Pour en revenir au fond du problème, il n'est donc pas erroné de dire que dans une base hilbertienne, il existe des vecteurs (fonctions par exemple) qui ont des coordonnées toutes non-nulles dans cette base.
On est bien d'accord?

On est bien d'accord (avec la distinction essentielle entre base et base hilbertienne)

[invite84c87f84]

09Jul85, on est bien d'accord alors (en insistant encore une fois, au risque de radoter, que l'on projette sur une base hilbertienne).

Wlad_von_tokyo : je n'ai pas bien compris ta question.
Peux-tu expliciter les vecteurs ei de ta base?

[invite84c87f84]

Salut

ex : Si je prends une base hilbertienne
et le vecteur
la somme existe car le serie converge (c est bien comme ca que ca marche ?)

Bon, je n'ai pas été bien futé de ne pas avoir compris ton message du premier coup. Je l'ai compris maintenant après une deuxième lecture.

Oui, l'idée est là effectivement. Ces notions de projections sont importantes surtout pour les physiciens.
Exemple : Si on note la fonction d'onde associée à une particule au point R et à l'instant t, le carré de son module, noté , est proportionnel à la densité de probalilité de présence de la particule au point R à l'instant t.

Si tu projettes sur une base infinie <e1, e2,...ei...> par exemple, et que tu définis comme norme sur cet espace la norme "classique" (racine carrée de la somme du carré des coordonnées), alors, effectivement, comme tu l'as fait remarquer, doit converger pour que la probabilité de trouver la particule au point R à l'instant t soit finie (et au mieux égale à 1). Il serait physiquement inconcevable que cette probabilité tende vers l'infini...

Je ne sais pas si ça t'a éclairé un peu...

Les autres, je ne sais pas trop si je n'ai pas débité un tissu d'inepties là. Corrigez-moi si j'ai dit une bêtise.

[invite84c87f84]

Vous aurez remarqué que j'ai fait une confusion éhontée entre fonction de carré intégrable et existence du carré du module d'une fonction au point (R,t) dans le post-précédent.
Ce qui a conduit a une série de propos fallacieux.

Mea Culpa.