Espaces vectoriels normés

[indian58]

J'ai la réponse à votre question:

comme l'a dit Wlad, il existe des ev non normables:

http://www.les-mathematiques.net/a/a/v/node9.php3#aavh3
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[FAN FAN]

Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il m'aider pour la question suivante:

(E,|| ||) espace vectoriel normé réel
T : E -> R une forme linéaire continue non nulle sur E
||T|| = Sup (|T(x)|, ||x|| = 1) (définition)

Question: Montrer qu'il existe une suite {x_n} de E telle que ||x_n|| = 1 et que |T(x_n)| >= (n/n+1) ||T||.

Merci à ceux qui pourront m'éclairer sur cete question.

[edpiste]

J'ai la réponse à votre question:

comme l'a dit Wlad, il existe des ev non normables:

http://www.les-mathematiques.net/a/a/v/node9.php3#aavh3

Toujours le même problème : on ne peut pas forcément mettre une norme qui induit une topologie donnée (dans ton exemple, celle de la convergence uniforme sur les compacts), par contre on peut bien rendre l'espace normé, mais la norme qu'on aura ainsi construite n'est pas topologiquement équivalente (et donc moins intéressante que) la topologie considérée ici.

La bonne question dans les evt est de savoir : quelle topologie rend mon espace complet. Si c'est une norme, tant mieux (espaces de Banach). Si c'est une distance, c'est encore bon (espaces de Frechet, comme justement H(Omega)) sinon, on s'en sort encore avec des evt localement convexes (ex les fonctions test)

[edpiste]

J'en profite pour rétablir une imprécision parfois lue sur ce forum : la complétude n'est pas une notion métrique. On peut parler d'espaces complets dès qu'on peut parler de suites de Cauchy, donc ça marche dans les evt (xn de Canchy si xn - xm appartient à un voisinage de 0 pour n,m grands) et plus généralement ds tout espace dit uniforme.

[invite2c3ff3cc]

Question: Montrer qu'il existe une suite {x_n} de E telle que ||x_n|| = 1 et que |T(x_n)| >= (n/n+1) ||T||.

C'est clair vu que (n/n+1) ||T|| < ||T|| il y a un x tq |T(x)| >= (n/n+1) ||T||


Et pour revenir au sujet d'origine (de 2005 !!) je ne peux que réinsister sur ce qu'a dit uutt et edpiste. Il faut que les topologies soient les mêmes !! Sinon on met la topologie grossière que n'importe quel e.v et on prouve facilement qu'il n'est pas normable !

[edpiste]

Et pour revenir au sujet d'origine (de 2005 !!)

oups .