Axiome du choix ou pas?

[invite14e03d2a]

Bonjour à tous!

J'ai une petite question: pour montrer que toute famille d'intervalles ouverts de R non vides et disjoints deux à deux est dénombrable, faut-il l'axiome du choix?
Si non, quelqu'un a-t-il la démo en stock?

Merci d'avance
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[invitebe0cd90e]

Bonjour à tous!

J'ai une petite question: pour montrer que toute famille d'intervalles ouverts de R non vides et disjoints deux à deux est dénombrable, faut-il l'axiome du choix?
Si non, quelqu'un a-t-il la démo en stock?

Merci d'avance

Il n'y a a priori aucune raison pour utiliser ici l'axiome du choix.... qui affirme l'existence d'une fonction de choix. Ton exo ne parle ni de choix, ni d'existence, donc ...

Une idée en l'air : c'est a peu pres triviale que pour tout et pour n parcourant Z la famille est denombrable. Trivialement elle recouvre R tout entier, et pour un epsilon judicieusement choisi tout intervalle ouvert de ta famille doit pouvoir etre recouverte par un nombre fini de tels intervalles, et ce de tel sorte que chaque intervalle ne serve au maximum qu'une seule fois (variante : un nombre fini de fois). donc finalement le cardinal de ta famille sera inferieur au egal au cardinal du recouvrement ci dessus (variante : au cardinal du nombre de parties finies du recouvrement, ce qui marche encore)

[Médiat]

Le principe c'est de dire que entre chaque réel il existe un rationnel, donc "a priori" on peut indexer la famille avec un des rationnels de l'intervalle donc la famille est dénombrable. Sauf que en disant seulement cela, il faut une fonction de choix pour faire cette indexation.
Une idée (mais à surveiller de près : utilisation de l'archimédianeté et de la fonction partie entière) pour éviter l'axiome du choix :
Soit ]a, b[ un intervalle non vide, R étant archimédien il existe n tel que n(b-a) > 1, alors le rationnel E(n(b-a))/n appartient à ]a, b[ et me paraît un bon candidat pour indexer la famille.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je suppose que tu veux dire a + E( n(b-a))/n, non ?
__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Salut,

Je suppose que tu veux dire a + E( n(b-a))/n, non ?
__
rvz

Ooops, désolé
En fait c'est E(na)/n + E( n(b-a))/n

[EDIT] il y a peut-être un souci de bornes (?)

[invite4ef352d8]

Une idée en l'air : c'est a peu pres triviale que pour tout et pour n parcourant Z la famille est denombrable. Trivialement elle recouvre R tout entier, et pour un epsilon judicieusement choisi tout intervalle ouvert de ta famille doit pouvoir etre recouverte par un nombre fini de tels intervalles, et ce de tel sorte que chaque intervalle ne serve au maximum qu'une seule fois (variante : un nombre fini de fois). donc finalement le cardinal de ta famille sera inferieur au egal au cardinal du recouvrement ci dessus (variante : au cardinal du nombre de parties finies du recouvrement, ce qui marche encore)

Je vois plusieurs problemes dans ta démo :

-tout intervalle ouvert de ta famille doit pouvoir etre recouverte par un nombre fini de tels intervalles. >>> qui te dit que les ouvert en question sont borné ? bon ok ils le sont tous sauf au maximum 2 mais quand meme...
-de tel sorte que chaque intervalle ne serve au maximum qu'une seule fois >>> si la famille considérer contiens par exemple tous les intervalle de la forme ]1/(n+1)²,1/n²[ alors pour tous epsilon, ton ouvert ]0,epsilon[ contiens une infinité d'ouvert de la famille.

-le cardinal de ta famille sera inferieur >>> la notion de cardinal utilise enormement l'axiome du choix. sans l'axiome du choix le cardinal n'est pas une relation d'ordre (on peut plus prouver que si on a deux ensemble au moins l'un des deux s'injecte dans l'autre...) et je ne suis pas du tous convaincu l'existence d'une surjection de N sur X ne prouve pas que X est dénombrable sans l'axiome du choix.



hontement, je ne sais pas si ce résultat neccessite l'axiome du choix. mais j'ai deux objection à l'interet de la question :
1) faire de la topologie sans l'axiome du choix est quelque chose de quasiement impossible. (on passe sont temps "à choisir un voisinage de x pour tous x", ou bien "choisir un Un pour tous n" etc...)
2) parler de dénombrabilité sans axiome du choix (et à forciori de cardinalité) m'a lair tous aussi délicat (voir ma remarque précedente, ce n'est pas impossible, mais la notion de dénombrabilité sans l'axiom du choix, n'est clairement pas la meme que celle avec l'axiome du choix...)

[invite986312212]

on pourrait peut-être faire comme ci:
- on commence par fixer un homéomorphisme de R dans [-1,1]. La famille disjointe d'intervalles est transformée en une famille disjointe d'intervalles. Mais maintenant la somme des longueurs de ces intervalles est finie.
- on applique le résultat bien connu sur les familles sommables, à savoir que leur nombre de termes non nuls est au plus dénombrables (ça se montre en raisonnant sur le nombre de termes plus grand que epsilon, qui est fini, etc).

[invite35452583]

on pourrait peut-être faire comme ci:
- on commence par fixer un homéomorphisme de R dans [-1,1]. La famille disjointe d'intervalles est transformée en une famille disjointe d'intervalles. Mais maintenant la somme des longueurs de ces intervalles est finie.
- on applique le résultat bien connu sur les familles sommables, à savoir que leur nombre de termes non nuls est au plus dénombrables (ça se montre en raisonnant sur le nombre de termes plus grand que epsilon, qui est fini, etc).

C'est une manière, oui (la "classique" à ma connaissance), enfin en prenant un homomorphisme de R sur ]-1;1[ sinon ça va être difficile avec [-1;1].

Le principe c'est de dire que entre chaque réel il existe un rationnel, donc "a priori" on peut indexer la famille avec un des rationnels de l'intervalle donc la famille est dénombrable. Sauf que en disant seulement cela, il faut une fonction de choix pour faire cette indexation.
Une idée (mais à surveiller de près : utilisation de l'archimédianeté et de la fonction partie entière) pour éviter l'axiome du choix :
Soit ]a, b[ un intervalle non vide, R étant archimédien il existe n tel que n(b-a) > 1, alors le rationnel E(n(b-a))/n appartient à ]a, b[ et me paraît un bon candidat pour indexer la famille.

Oui mais il y a encore un choix à faire sur n.
Sautons l'obstacle pour un intervalle ]a,b[ de cette union, on pose m=inf{n entier>0, tel que b-a<1/m} ce qui élimine le "choix" (la fonction choix ne vient plus de l'axiome mais a été explicitement construite).
Alors on vérifie que est à une distance strictement inférieur à 1/2m de (a+b)/2 donc est dans l'intervalle. On a une injection dans Q donc c'est gagné.

Sinon il y aussi celle-ci (basée sur n'ayons pas peur de taper sur P(Q) il n'y a pas besoin d'axiome du choix pour le dénomblable, N est bien ordonné axiome du choix ou non)
{intervalles}-f->P(Q)\{ensemble vide}-c->Q
f(intervalle)={rationnels contenus dans cet intervalle}
c est défini par une bijection g de Q sur N en posant c=g-1(min(g(A)) pour un partie non vide de Q, il vérifie que c(A) est dans A.
La composée cof est trivialement une injection.

1) faire de la topologie sans l'axiome du choix est quelque chose de quasiement impossible. (on passe sont temps "à choisir un voisinage de x pour tous x", ou bien "choisir un Un pour tous n" etc...)

Ce n'est pas totalement faux mais cet obstacle peut être parfois/souvent (souvent : si métrique, parfois : si topologie plus générale) levé en définissant explicitement une application choix sans l'axiome par exemple avec "soit la boule centrée en x de plus grand rayon (<=1)* telle que la propriété p soit vérifié" (bien définie car par hypothèse ou parce que telle propriété P' implique que l'ensemble des rayons non nuls vérifiant P est non vide et comme on ne s'intéresse qu'au rayon >=1 cet ensemble est majoré donc il existe une borne supérieure, son existence ne réclame pas l'axiome du choix, >0 car il y a au moins un élément>0...) * : on divise par 2 pour éviter les problèmes.

[invite986312212]

(...), enfin en prenant un homomorphisme de R sur ]-1;1[ sinon ça va être difficile avec [-1;1].

mouais, la dernière fois que j'ai passé un oral d'examen, en DEA, j'ai sorti un truc foireux de ce genre (pire d'ailleurs). Le prof m'a dit: "puisque vous êtes arrivé à ce niveau d'études, ça prouve que vous savez raisonner"... et ne m'a pas recalé.

[invite4ef352d8]

encore au moins une objection.

"ça se montre en raisonnant sur le nombre de termes plus grand que epsilon, qui est fini, etc.">>> l'axiome du choix est caché la dedans : le fait qu'une union dénombrable d'ensemble dénombrable est encore dénombrable est une conséquence de l'axiome du choix.

[Médiat]

Oui mais il y a encore un choix à faire sur n.

Heureusement qu'il y a le smiley, sinon je t'envoyais mes témoins !
Pour les lecteurs inatentifs : il n'y a pas d'axiome du choix nécessaire pour choisir le plus petit d'un ensemble d'entiers (surtout si celui-ci est fini, en prenant les entiers plus petit que le premier trouvé (même pas besoin du bon-ordre ))

[invite14e03d2a]

Le principe c'est de dire que entre chaque réel il existe un rationnel, donc "a priori" on peut indexer la famille avec un des rationnels de l'intervalle donc la famille est dénombrable. Sauf que en disant seulement cela, il faut une fonction de choix pour faire cette indexation.
Une idée (mais à surveiller de près : utilisation de l'archimédianeté et de la fonction partie entière) pour éviter l'axiome du choix :
Soit ]a, b[ un intervalle non vide, R étant archimédien il existe n tel que n(b-a) > 1, alors le rationnel E(n(b-a))/n appartient à ]a, b[ et me paraît un bon candidat pour indexer la famille.

C'était justement ce genre de problème que j'avais en tête. Ton idée avec la partie entière me semble judicieuse (il faut l'adapter si on a des intervalles infinis mais dans ce cas, il n'y en a que deux comme l'a fait remarquer KSilver)

Merci de vos réponses

[invite35452583]

Heureusement qu'il y a le smiley, sinon je t'envoyais mes témoins !
Pour les lecteurs inatentifs : il n'y a pas d'axiome du choix nécessaire pour choisir le plus petit d'un ensemble d'entiers (surtout si celui-ci est fini, en prenant les entiers plus petit que le premier trouvé (même pas besoin du bon-ordre ))

Je te faisais justement remarquer que tu ne l'avais pas préciser que tu prenais le plus petit (cette précision, je pense que tu es d'accord avec moi pour dire que c'est elle qui permet d'écahapper à l'utilisation de l'axiome du choix, le choix on le définit on ne l' "évoque" pas par le biais d'un axiome ).
PS: l'axiome du choix ne me gène pas (en topologie, comme Ksilver l'a dit mais en généralisant trop à mon gout, on ne peut guère s'en passer d'ailleurs).

le fait qu'une union dénombrable d'ensemble dénombrable est encore dénombrable est une conséquence de l'axiome du choix.

Ah bon ? Pouratnt je ne vois l'axiome du choix dans ce qui suit :
Soit avec I dénombrable et les E_i au plus dénombrable.
I étant dénombrable il existe une bijection de I avec N, on peut donc supposer que la famille est indicée sur N.
On pose , on a , on peut donc supposer que la famille est croissante.
On pose G_i=F_i\F_i-1, on peut supposer la famille disjointe (I au plus dénombrable).
On envoit les éléments de G0 sur les impairs
on envoie les éléments de G1 sur les 2ximpairs
...
on envoie les éléments de Gn sur 2ⁿx impair
...
on définit ainsi une injection dans N, c'est donc au plus dénombrable.

mouais, la dernière fois que j'ai passé un oral d'examen, en DEA, j'ai sorti un truc foireux de ce genre (pire d'ailleurs). Le prof m'a dit: "puisque vous êtes arrivé à ce niveau d'études, ça prouve que vous savez raisonner"... et ne m'a pas recalé.

Certes (et heureusement/jury ) et nombreux dans cette discussion sont ceux qui ont atteint +/- ce niveau mais ce n'est pas le cas de tous sur ce forum.

Ce qui m'étonne c'est que la preuve de ce résultat m'a été donné en 1ère année de fac, la démo n'est plus donnée ? Un jour on ne donnera même plus la construction de R. (Oui, je sais ... )

[invite4ef352d8]

IL est la l'axiome du choix :

"On envoit les éléments de G0 sur les impairs
on envoie les éléments de G1 sur les 2ximpairs
...
on envoie les éléments de Gn sur 2nx impair
..
"

tu dois choisir une infinité de bijection simultané. on est en plein dans le cadre de l'axiome du choix.


En fait je pense qu'il y a quand meme moyen de s'en sortir en utilisant que les elements qu'on veux metre en bijection avec N (les intervalles ouvert quoi... ) sont totalement ordoné.... donc a moins qu'il y est bessoin d'utiliser l'axiome du choix pour ordoné des ouvert disjoint tous va bien (j'pense que c'est bon)...

mais pour le coup la preuve de Médiat est clairement plus simple. (pour le coup, je vois vraiment pas en quoi on aurait bessoin d'axiome du choix pour archimédianeté... enfin vu a qu'elle point il aparait partous en analyse il faut ce méfier ^^)

[Médiat]

Je te faisais justement remarquer que tu ne l'avais pas préciser que tu prenais le plus petit (cette précision, je pense que tu es d'accord avec moi pour dire que c'est elle qui permet d'écahapper à l'utilisation de l'axiome du choix, le choix on le définit on ne l' "évoque" pas par le biais d'un axiome ).

J'avais bien compris, et tu a parfaitement raison : j'aurais dû le préciser (mauvaise habitude de ma part, quand on a pu définir une fonction qui détermine des entiers (en particulier un segment final), on a toujours une une fonction de choix en prenant le plus petit, ce qui est toujours possible dans un bon ordre, du coup j'ai le sentiment que le problème est résolu, je ne le ferai plus, promis ).

je vois vraiment pas en quoi on aurait bessoin d'axiome du choix pour archimédianeté... enfin vu a qu'elle point il aparait partous en analyse il faut ce méfier

Ma remarque était aussi au niveau de la méfiance (je me méfie toujours avec l'axiome du choix, surtout pour une propriété qui n'est pas du premier ordre).

[invite986312212]

dans le cas qui nous occupe, il s'agit de la réunion d'une famille dénombrable croissante d'ensembles finis. C'est tout-de-même moins général que réunion dénombrable de dénombrables. Cette famille est ordonnée par construction (pas besoin d'invoquer l'existence d'un ordre). Je pense qu'on peut construire une injection par récurrence, où à chaque étape il faut choisir une bijection entre ensembles finis. Est-ce que ça nécessite l'axiome du choix?

[invite4ef352d8]

le fait que la suite soit croissante et que les ensembles sont finit n'apporte pas grand chose. mais en effet, le fait qu'il soit ordoné fournit une bijection canonique et évite d'utiliser l'axiome du choix.