Qu'est-ce qu'un axiome ?

[Bloud]

Salut !

Et oui, un axiome, c'est quoi ? Je ne souhaite pas la définition (j'ai un dictionnaire ). Je voudrais savoir comment les mathématiciens l'entendent. En effet, il me semble qu'un axiome est un postulat, une propriété que l'on pose et que l'on considère comme admise sans chercher à la démontrer. Cependant, prenons l'exemple de l'axiome des parallèles dans la géométrie euclidienne. J'ai cru comprendre que si les géométries non euclidiennes avaient été créées, c'est parce que l'on a cherché à déduire ce postulat des autres mais que l'on y était pas arrivé. Cependant, l'entreprise même m'est incompréhensible : pourquoi chercher à démontrer, en quelque sorte, un axiome puisque c'est une propriété qui n'est pas vouée à l'être ? Pareil pour l'axiome du choix dans l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel ? Pourquoi y a-t-il polémique puisque c'est un axiome ? On l'admet ou pas mais je ne vois pas le problème si on l'admet. C'est un axiome point barre.

En espérant que vous saurez éclairer ma lanterne, je vous remercie d'avance.
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[shokin]

Un axiome l'est dans un contexte (peut-être ne l'est-il pas dans d'autres contextes).

Un théorème qu'on a démontré, ou qu'on admet comme démontré, c'est un peu comme un axiome.

Shokin

[invité576543]

Cependant, prenons l'exemple de l'axiome des parallèles dans la géométrie euclidienne. J'ai cru comprendre que si les géométries non euclidiennes avaient été créées, c'est parce que l'on a cherché à déduire ce postulat des autres mais que l'on y était pas arrivé. Cependant, l'entreprise même m'est incompréhensible : pourquoi chercher à démontrer, en quelque sorte, un axiome puisque c'est une propriété qui n'est pas vouée à l'être ? Pareil pour l'axiome du choix dans l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel ? Pourquoi y a-t-il polémique puisque c'est un axiome ? On l'admet ou pas mais je ne vois pas le problème si on l'admet. C'est un axiome point barre.

Bonjour,

Le problème de l'axiome des parallèles par exemple doit se voir par rapport à un ensemble d'autres axiomes, ici ceux de la géométrie. Un problème des mathématiciens est d'être sûr qu'il n'y a pas d'axiomes en trop, de redondance. Si j'ai un système d'axiomes A1, 12 et A3 (ensemble que je postule être des axiomes) et que j'arrive finalement à démontrer A3 à partir de A1 et A2, alors je peux enlever A3 de la liste des axiomes (A3 devient un théorème dans la théorie fondée sur A1 et A2). Pendant longtemps il n'a pas été clair si l'axiome des parallèles était redondant aux autres ou pas. Une fois que cela a été démontré (ie, il ne l'est pas!), il est devenu un axiome pour la géométrie Euclidienne (mais pas pour d'autres géométries qui partagent les autres axiomes avec la géométrie Euclidienne).

Pareil pour l'axiome du choix, vu comme ajouté aux axiomes ZF.

Ce qui est intéressant à la fois dans le cas des parallèles ou de l'axiome du choix est qu'on peut fonder des théories différentes en prenant leur énoncé comme axiome, ou en prenant comme axiome un autre énoncé, incompatible avec l'énoncé initial mais compatible avec le jeu d'axiomes.

Cordialement,

Michel

[Bloud]

Merci beaucoup pour cette réponse. Je crois bien avoir compris.

[A voir en vidéo sur Futura]