axiome de compréhension et fonctions recursives

Bonjour aux intéressés et aux bonnes âmes qui sauront me guider hors de mon enfer.

L'axiomatique de Zermelo et Fraenkel inclut l'axiome de compréhension qui (version JP Delahaye) pose qu'on peut construire un ensemble à partir d'une propriété (exprimable par une fonction) à condition que les éléments qui satisfont cette fonction appartiennent déjà à un ensemble.

Cet axiome permet d'éviter le paradoxe de Russell :je vois bien comment...
... ainsi que le paradoxe de Cantor et là je vois beaucoup moins bien... quelqu'un peut-il m'éclairer?(= première question)

Par ailleurs, j'ai lu également que la construction d'ensemble par l'utilisation de fonctons recursives évitait également de déboucher sur ces paradoxes.. là je ne vois pas du tout comment ça marche... c'est ma deuxième question

Enfin, savez vous quel rapport direct il y a entre cet axiome de compréhension et ces fonctions recursives ? (= troisième question)...

Merci infiniment (aleph zéro) à ceux qui pourront m'aider pour l'un de ces problèmes... et infiniment plus (aleph 1) à ceux qui les résoudraient tous
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[GuYem]

Salut.

Questions intéressantes en effet ! Ceux qui ne t'apportent aucune réponse (comme moi) ont droit à un nombre fini de remerciements pour leurs encouragements ?

[invite6b1e2c2e]

Bonjour à vous deux,

Pour ta première question :
En fait, ça dit juste qu'un ensemble ne peut pas être défini que par une propriété : Si tu le définis par une propriété, tu dois aussi le définir comme un sous ensemble.
Ainsi, pour le paradoxe de Russel.
On considère . Alors un raisonnement facile montre qu'on n'arrive pas à voir où est . Normal : Ce n'est pas un ensemble !
Par contre, si tu rajoutes à cet ensemble la condition supplémentaire , alors ça devient un ensemble et un siple raisonnement te montre que .
Pour le paradoxe de Cantor.
Soit E l'ensemble de tous les ensembles. Alors ce qui est impossible. Conclusion : L'ensemble de tous les ensembles n'existe pas. En effet, pour le définir, on poserait . D'où le problème.

Malheureusement, pour les autres questions, j'ai peur d'être complètement incompétent, mais je te conseille d'aller voir le site sciences.ch à cette rubrique, qui semble assez claire.

Enfin, pour Guyem, je pense qu'un nombre transfini de remerciements axiomatiques inductifs semble approprié

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rvz

Salut Guyem... je t'accorde une quantité non standard de remerciements

Salut Rvz... pour Russell, pas de pb!
Pour le paradoxe de Cantor,

Je ne comprends pas ton écriture: (E est l'ensemble des X, tels que pour tout Y, Y est un élément de X)... je suppose que je dois faire une erreur de lecture...
Je ne vois donc toujours pas comment l'axiome de compréhension le solutionne

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Salut Rvz... pour Russell, pas de pb!
Pour le paradoxe de Cantor,
Je ne comprends pas ton écriture: (E est l'ensemble des X, tels que pour tout Y, Y est un élément de X)... je suppose que je dois faire une erreur de lecture...

Disons que j'ai essayé d'écrire proprement comment définir l'ensemble de tous les ensembles, et ça m'a donné ça. Bon, je t'accorde que ça a pas l'air terrible. Tu proposes une autre définition ?

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rvz

Disons que j'ai essayé d'écrire proprement comment définir l'ensemble de tous les ensembles, et ça m'a donné ça. Bon, je t'accorde que ça a pas l'air terrible. Tu proposes une autre définition ?

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rvz

Et bien justement, c'est là mon problème ... je crois qu'en donnant une écriture satisfaisante, je verrais mieux comment l'axiome de compréhension peut l'interdire..

Peut être:
Z = Pour tout X, P(X) est un élément de Z...

Si l'écriture est correcte, alors il est vrai que X semble plutôt mal défini... mais c'est beaucoup trop intuitif comme solution...

[taladris]

Bonjour!

desolé de poser une question idiote mais il y a un truc que je ne comprend pas avec l'axiome de Cantor:

pourquoi l'ensemble de tous les ensembles E n'existerait-il pas? En quoi le fait que E se contiendrait lui-même serait un problème?

Est-ce que c'est un truc genre "axiome du choix": on est libre de l'accepter ou non mais dans ce cas, on créé deux mathématiques différentes

Pouvez-vous m'éclairer sur ce sujet?
Merci

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

En fait il existe la catégorie des ensembles, notée Ens, mais la classe de ses objets n'est pas un ensemble. Justement à cause des paradoxes de Cantor et de Russel.
On peut admettre que {X | X ∉ X} est contradictoire, donc n'existe pas, ce qui a priori n'empêche pas {X | ∀ Y: Y ∈ X} d'exister. Mais je crois qu'il y a d'autres problèmes (je ne me souviens plus lesquels).

Et comme le dit rvz, on devrait écrire {X ∈ ??? | ...}, et quoi mettre à la place des "???"?

Cela dit, le coup des catégories, c'est une manière de faire parmi d'autres.

-- françois

[inviteef2a8695]

pourquoi l'ensemble de tous les ensembles E n'existerait-il pas?

A cause du théorème de Cantor qui dit que l'ensemble des parties d'un ensemble E à un cardinal strictement supérieur à celui de E. L'ensemble de tous les ensembles ne pourrait satisfaire à cette condition.

Et bien justement, c'est là mon problème ... je crois qu'en donnant une écriture satisfaisante, je verrais mieux comment l'axiome de compréhension peut l'interdire..

Peut être:
Z = Pour tout X, P(X) est un élément de Z...

La formulation "Pour tout X, X appartient à Z" est tout à fait satisfaisante, puisque dans l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel tous les objets sont des ensembles. La formulation que tu donnes est d'ailleurs équivalente(mais plus compliquée), en effet, chacun des éléments de P(X) est un objet de Z-F et réciproquement, X appartient bien à P(X).
L'important dans l'axiome de compréhension voir ici, c'est que la définition d'un ensemble à l'aide d'une propriété ne peut se faire qu'à l'intérieur d'un ensemble A. On ne peut pas définir ainsi un ensemble plus grand que A, et donc on ne peut définir d"ensemble de tous les ensembles".

[taladris]

Merci beaucoup pour ta reponse Verpin, je n'y avais pas pensé

C'est vraiment compliqué ces histoires d'axiomes...