Répondre à la discussion
Page 1 sur 2 1 DernièreDernière
Affichage des résultats 1 à 30 sur 52

Axiome du choix ?



  1. #1
    Gpadide

    Axiome du choix ?


    ------

    Bonjour, c'est quoi l'axiome du choix ?
    Au revoir.

    -----

  2. Publicité
  3. 📣 Nouveau projet éditorial de Futura
    🔥🧠 Le Mag Futura est lancé, découvrez notre 1er magazine papier

    Une belle revue de plus de 200 pages et 4 dossiers scientifiques pour tout comprendre à la science qui fera le futur. Nous avons besoin de vous 🙏 pour nous aider à le lancer...

    👉 Je découvre le projet

    Quatre questions à explorer en 2022 :
    → Quels mystères nous cache encore la Lune 🌙 ?
    → Pourra-t-on bientôt tout guérir grâce aux gènes 👩‍⚕️?
    → Comment nourrir le monde sans le détruire 🌍 ?
    → L’intelligence artificielle peut-elle devenir vraiment intelligente 🤖 ?
  4. #2
    dajety

    Re : Axiome du choix ?

    l'axiome du choix s'écrit:
    « Étant donnée une famille d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »
    Grosso modo ca veut dire que si tu as un ensemble E et si tu consideres une partie non vide de cet ensemble alors tu peux "choisir" un élément de cet ensemble ( i e il y a une fonction dite "fonction choix" qui à toute partie non vide de E associe un élément de cette partie

  5. #3
    Gwyddon

    Re : Axiome du choix ?

    Autres versions équivalentes :

    "tout ensemble non vide peut être bien ordonné" (axiome de Zermelo)
    "tout ensemble inductif admet un élément maximal" (lemme de Zorn)


    Utilités : l'axiome du choix permet de démontrer que tout espace vectoriel admet des bases, que tout anneau admet un idéal maximal, etc...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #4
    Ksilver

    Re : Axiome du choix ?

    "tout ensemble non vide peut être bien ordonné"

    surprenant tiens ! est-ce qu'on connait un exemple explicite d'ensemble non dénombrable qui soit bien ordoné ? (enfin, un ordre explicite plutot ^^ )

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    prgasp77

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    "tout ensemble non vide peut être bien ordonné" (axiome de Zermelo)
    ou peuvent être ordonnés ? Que signifie "bien ordonné" ?

    Merci.
    --Yankel Scialom

  9. #6
    Sylvestre

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    "tout ensemble non vide peut être bien ordonné"

    surprenant tiens ! est-ce qu'on connait un exemple explicite d'ensemble non dénombrable qui soit bien ordoné ? (enfin, un ordre explicite plutot ^^ )
    Non, on n'en connais pas, on sait juste que si on a l'axiome du choix, alors ce bon ordre existe pour tout ensemble.
    Programming is understanding

  10. Publicité
  11. #7
    Sylvestre

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    Que signifie "bien ordonné" ?
    Un ensemble E est "bien ordonné", lorsqu'il existe une relation d'ordre sur cet ensemble possédant en plus la propriété suivante :
    Pour tout sous-ensemble X inclu dans E et non vide, X possède un élément qui est le plus petit dans X.

    Ce n'est pas vrai pour l'ensemble des réels avec l'ordre usuel, car l'ensemble ]0,1[ ne possède pas de plus petit élément.
    Programming is understanding

  12. #8
    Médiat

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Sylvestre Voir le message
    Non, on n'en connais pas, on sait juste que si on a l'axiome du choix, alors ce bon ordre existe pour tout ensemble.
    Et ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #9
    invité576543
    Invité

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    "tout ensemble non vide peut être bien ordonné"

    surprenant tiens ! est-ce qu'on connait un exemple explicite d'ensemble non dénombrable qui soit bien ordoné ? (enfin, un ordre explicite plutot ^^ )
    P(N) et l'ordre lexicographique, P1<P2 si min(P1-P1∩P2) < min(P2-P1∩P2), (avec une convention idoine pour min(Ø)), non?

    Je ne suis pas sûr, c'est juste un essai...

    Cordialement,

  14. #10
    invité576543
    Invité

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    P(N) et l'ordre lexicographique, P1<P2 si min(P1-P1∩P2) < min(P2-P1∩P2), (avec une convention idoine pour min(Ø)), non?

    Je ne suis pas sûr, c'est juste un essai...
    Ca marche pas... Suffit de prendre l'ensemble des {0, 1, ..., n} pour tout n fini. Pas de min... Désolé...

    Cordialement,

  15. #11
    Gpadide

    Re : Axiome du choix ?

    En fait pour moi y avait pas besoin de poser un axiome pour ca : l'ensemble est non vide, donc on peut "choisir" un de ses éléments ((= ! Enfin bref, c'est vrai que les maths sont basées sur 5 axiomes ?

  16. #12
    Gwyddon

    Re : Axiome du choix ?

    Justement ça te semble évident, mais :

    _ les maths sans cet axiome ne sont pas contradictoires

    _ les conséquences de l'axiome sont hautement non-intuitives (Banach-Tarski par exemple est issu de l'axiome du choix il me semble)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  17. Publicité
  18. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Justement ça te semble évident, mais :

    _ les maths sans cet axiome ne sont pas contradictoires
    Mais plus limitées, non?

    Cordialement,

  19. #14
    Gwyddon

    Re : Axiome du choix ?

    Je trouve aussi, mais tous les mathématiciens ne sont pas d'accord avec l'utilisation de cet axiome
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  20. #15
    Sylvestre

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    En fait pour moi y avait pas besoin de poser un axiome pour ca : l'ensemble est non vide, donc on peut "choisir" un de ses éléments
    L'axiome du choix dit beaucoup plus que cela. Il n'y a pas besoin de l'axiome du choix lorsque l'on a un seul ensemble. L'axiome du choix dit que dans toute famille non vide d'ensemble non vide, il existe une fonction qui à chaque ensemble associe un élément de cet ensemble.
    C'est beaucoup plus que si on n'avait seulement un ensemble.
    Programming is understanding

  21. #16
    Médiat

    Re : Axiome du choix ?

    L'axiome du choix est aussi équivalent à "un produit d'ensembles non vide est non vide".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #17
    Médiat

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Mais plus limitées, non?

    Cordialement,
    "Sans l'axiome du choix" n'est pas identique à "Avec la négation de l'axiome du choix".

    Sans l'axiome du choix, il y a "plus" de modèles, donc d'une certaine façon, on pourrait dire "moins limitées" ; mais il va de soi que l'on peut démontrer moins de théorèmes, donc on pourrait dire "plus limitées", mais dans une autre acception... enfin, c'est une question de choix.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  23. #18
    Abhorash

    Re : Axiome du choix ?

    Je fais remonter le sujet car j'ai deux petites questions :

    -Dans quelle mesure l'axiome du choix nous permet de dire que tout e.v. possède des bases algébriques ? (si quelqu'un a en gros l'idée de la démo ^^)
    -Avec la négation de l'axiome du choix, qu'enlève-t-on comme branche des mathématiques ?

    Merci !
    Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à 20 ans !

  24. Publicité
  25. #19
    Ledescat

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Abhorash Voir le message
    -Avec la négation de l'axiome du choix, qu'enlève-t-on comme branche des mathématiques ?
    L'axiome du choix est indécidable , donc qu'il soit vrai ou pas, il ne contredira pas le reste des mathématiques.
    Cogito ergo sum.

  26. #20
    Médiat

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    L'axiome du choix est indécidable , donc qu'il soit vrai ou pas, il ne contredira pas le reste des mathématiques.
    Non, tu as raison, mais la question de Abhorash est quand même parfaitement légitime, sans l'axiome du choix, il y a des théorèmes que l'on ne peut pas démontrer (existence de base dans les ev de dimension infini par exemple), l'exemple que je trouve le plus parlant est que sans l'axiome du choix on ne peut pas définir les cardinaux tels qu'on les connaît (mais une version très faible), dans la mesure ou sans cet axiome, on ne peut pas affirmer que toutes les classes d'équipotence contiennent un ordinal.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #21
    Gwyddon

    Re : Axiome du choix ?

    Hello,

    Pour la 1ère question d'Abhorash, on peut utiliser l'axiome du choix dans sa version "lemme de Zorn", et ça marche pas trop mal (même si j'ai des souvenirs lointains de la démo...)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  28. #22
    Ksilver

    Re : Axiome du choix ?

    a chaque fois qu'on veut utiliser l'axiome du choix de facon non trivial (tous les EV admette des base, tous ss EV admet un suplémentaire, tous anneau admet un ideal maximal... etc etc...) on l'utilise sous la forme de lemme de Zorn :


    Soit E un ev

    On considere M l'ensemble des parti libre de E,partiellement ordoné par la relation d'inclusion.

    On vérifie que M est inductif :

    soit P un sous ensemble de M totalement ordoné.
    posons U= la réunion des elements de P.
    montrons que U appartiens a M, ie que U est une famille libre.

    soit (x1...xn) une famille finit de U, alors il exite p1..pn des elements de P telle que x1 est dans p1, x2 dans p2 ... et xn est dans pn.
    P etant totalement ordoné, la famille (finit) p1...pn admet un plus grand element (pour l'inclusion), qu'on notera K, la famille (x1...xn) est donc un sous ensemble de K, qui est un element de P, donc de M donc une famille libre. donc x1..xn est libre.
    toute les sous famille finit de U sont libre. donc U est libre !

    U est donc bien un element de M, et U est un majorant de P.

    M est donc inductif.

    donc il existe au moins un element maximal dans M : m

    on vérifie facilement que m est un base de E :
    -m est libre par définition.
    -soit x un element de E, alors (m union {x}) contiens m, donc majore m, donc n'est pas element de M puisque m est un element maximal de M; donc (m union {x} ) est lié. ce qui prouve que x est généré par m. donc que m est génératrice.

    m est donc une base de E !

  29. #23
    Abhorash

    Re : Axiome du choix ?

    Merci à tous !

    Ksilver, comment montre-t-on du coup que tout e.v. possède des bases algébriques ? (je veux dire que tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire finie de vecteurs de la base)
    Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à 20 ans !

  30. #24
    Gwyddon

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Abhorash Voir le message
    Merci à tous !

    Ksilver, comment montre-t-on du coup que tout e.v. possède des bases algébriques ? (je veux dire que tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire finie de vecteurs de la base)
    Euh, c'est la définition d'une base non ? Tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire finie des vecteurs de base, et ces vecteurs de bases sont libres...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  31. Publicité
  32. #25
    Abhorash

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Euh, c'est la définition d'une base non ? Tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire finie des vecteurs de base, et ces vecteurs de bases sont libres...
    Au temps pour moi alors, je ne me souvenais pas que les vecteurs pouvaient s'écrire en comb. lin. finie. (je pensait que justement c'était ce qu'on appelait une base algébrique).
    Dans ce cas pourquoi parle-t-on de base algébrique ? (Ou est-ce la même chose ?)
    Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à 20 ans !

  33. #26
    Ksilver

    Re : Axiome du choix ?

    c'est exactement ce que je viens de faire Abhorash. la base construite est une base algébrique...

    mais peut-etre devrait tu regarder sur Wikipédia les quelques définition neccesaire a comprendre la démonstration (parti totalement ordoné, element maximal, ensemble inductif...)

    j'ai fait cette démo en spé en DM : les trois premiere parti du DM servait principalement à prouver le lemme de Zorn a partir de l'axiom du choix, la fin etait composé de 4 question indépendante d'application du lemne de Zorn (dont celle ci)

  34. #27
    Abhorash

    Re : Axiome du choix ?

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    mais peut-etre devrait tu regarder sur Wikipédia les quelques définition neccesaire a comprendre la démonstration (parti totalement ordoné, element maximal, ensemble inductif...)
    En effet il me manque des notions d'algèbre (je n'en ai malheureusement pas beaucoup fait pendant mon premier cycle ...).
    Merci.
    Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à 20 ans !

  35. #28
    Ksilver

    Re : Axiome du choix ?

    Par défaut une base c'est quand on engendre par des combinaison linéaire finit.

    les "bases" aux qu'elle tu pense (je sais pas comment on les apellent), sont juste des bases d'une parti dense de l'ensemble, mais comme la densité, c'est une notion topologique, qui dépend donc de la topologie choisit !

  36. #29
    Ksilver

    Re : Axiome du choix ?

    c'est pas de l'algèbre juste un peu de théorie des ensembles. toute les définition son assez élemantaire. ce qui t'empeche de comprendre c'est un bete probleme de vocabulaire. (en spé, on avait pas de connaissance particulière sur le sujet...)

  37. #30
    Abhorash

    Re : Axiome du choix ?

    Du coup, pour prendre l'exemple des séries de Fourier, la famille des cos(nx) et sin(nx) n'est pas une base algébrique des fonctions 2Pi-périodiques ? (car pour décomposer une fonction on a souvent besoin d'un ensemble dénombrable de tels vecteurs)

    A-t-on des pistes pour savoir à quoi pourrait ressembler une telle base ?
    (Désolé si je suis un peu lourd )
    Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à 20 ans !

Page 1 sur 2 1 DernièreDernière

Discussions similaires

  1. Axiome du choix ou pas?
    Par taladris dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 16
    Dernier message: 23/11/2007, 19h13
  2. axiome de compréhension et fonctions recursives
    Par quantat dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 9
    Dernier message: 28/08/2006, 18h12
  3. Qu'est-ce qu'un axiome ?
    Par Bloud dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 13/12/2005, 17h25
  4. axiome du choix et hypoyhese du continu
    Par jobherzt dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 17/01/2005, 14h03
  5. axiome
    Par karatekator dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 8
    Dernier message: 01/07/2004, 12h17