Axiome du choix ?

[Gpadide]

Bonjour, c'est quoi l'axiome du choix ?
Au revoir.
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[invite78bdfa83]

l'axiome du choix s'écrit:
« Étant donnée une famille d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »
Grosso modo ca veut dire que si tu as un ensemble E et si tu consideres une partie non vide de cet ensemble alors tu peux "choisir" un élément de cet ensemble ( i e il y a une fonction dite "fonction choix" qui à toute partie non vide de E associe un élément de cette partie

[Gwyddon]

Autres versions équivalentes :

"tout ensemble non vide peut être bien ordonné" (axiome de Zermelo)
"tout ensemble inductif admet un élément maximal" (lemme de Zorn)


Utilités : l'axiome du choix permet de démontrer que tout espace vectoriel admet des bases, que tout anneau admet un idéal maximal, etc...

[invite4ef352d8]

"tout ensemble non vide peut être bien ordonné"

surprenant tiens ! est-ce qu'on connait un exemple explicite d'ensemble non dénombrable qui soit bien ordoné ? (enfin, un ordre explicite plutot ^^ )

[A voir en vidéo sur Futura]

[prgasp77]

"tout ensemble non vide peut être bien ordonné" (axiome de Zermelo)

ou peuvent être ordonnés ? Que signifie "bien ordonné" ?

Merci.

[Sylvestre]

"tout ensemble non vide peut être bien ordonné"

surprenant tiens ! est-ce qu'on connait un exemple explicite d'ensemble non dénombrable qui soit bien ordoné ? (enfin, un ordre explicite plutot ^^ )

Non, on n'en connais pas, on sait juste que si on a l'axiome du choix, alors ce bon ordre existe pour tout ensemble.

[Sylvestre]

Que signifie "bien ordonné" ?

Un ensemble E est "bien ordonné", lorsqu'il existe une relation d'ordre sur cet ensemble possédant en plus la propriété suivante :
Pour tout sous-ensemble X inclu dans E et non vide, X possède un élément qui est le plus petit dans X.

Ce n'est pas vrai pour l'ensemble des réels avec l'ordre usuel, car l'ensemble ]0,1[ ne possède pas de plus petit élément.

[Médiat]

Non, on n'en connais pas, on sait juste que si on a l'axiome du choix, alors ce bon ordre existe pour tout ensemble.

Et ?

[invité576543]

"tout ensemble non vide peut être bien ordonné"

surprenant tiens ! est-ce qu'on connait un exemple explicite d'ensemble non dénombrable qui soit bien ordoné ? (enfin, un ordre explicite plutot ^^ )

P(N) et l'ordre lexicographique, P1<P2 si min(P1-P1∩P2) < min(P2-P1∩P2), (avec une convention idoine pour min(Ø)), non?

Je ne suis pas sûr, c'est juste un essai...

Cordialement,

[invité576543]

P(N) et l'ordre lexicographique, P1<P2 si min(P1-P1∩P2) < min(P2-P1∩P2), (avec une convention idoine pour min(Ø)), non?

Je ne suis pas sûr, c'est juste un essai...

Ca marche pas... Suffit de prendre l'ensemble des {0, 1, ..., n} pour tout n fini. Pas de min... Désolé...

Cordialement,

[Gpadide]

En fait pour moi y avait pas besoin de poser un axiome pour ca : l'ensemble est non vide, donc on peut "choisir" un de ses éléments ((= ! Enfin bref, c'est vrai que les maths sont basées sur 5 axiomes ?

[Gwyddon]

Justement ça te semble évident, mais :

_ les maths sans cet axiome ne sont pas contradictoires

_ les conséquences de l'axiome sont hautement non-intuitives (Banach-Tarski par exemple est issu de l'axiome du choix il me semble)

[invité576543]

Justement ça te semble évident, mais :

_ les maths sans cet axiome ne sont pas contradictoires

Mais plus limitées, non?

Cordialement,

[Gwyddon]

Je trouve aussi, mais tous les mathématiciens ne sont pas d'accord avec l'utilisation de cet axiome

[Sylvestre]

En fait pour moi y avait pas besoin de poser un axiome pour ca : l'ensemble est non vide, donc on peut "choisir" un de ses éléments

L'axiome du choix dit beaucoup plus que cela. Il n'y a pas besoin de l'axiome du choix lorsque l'on a un seul ensemble. L'axiome du choix dit que dans toute famille non vide d'ensemble non vide, il existe une fonction qui à chaque ensemble associe un élément de cet ensemble.
C'est beaucoup plus que si on n'avait seulement un ensemble.

[Médiat]

L'axiome du choix est aussi équivalent à "un produit d'ensembles non vide est non vide".

[Médiat]

Mais plus limitées, non?

Cordialement,

"Sans l'axiome du choix" n'est pas identique à "Avec la négation de l'axiome du choix".

Sans l'axiome du choix, il y a "plus" de modèles, donc d'une certaine façon, on pourrait dire "moins limitées" ; mais il va de soi que l'on peut démontrer moins de théorèmes, donc on pourrait dire "plus limitées", mais dans une autre acception... enfin, c'est une question de choix.

[invitec859637e]

Je fais remonter le sujet car j'ai deux petites questions :

-Dans quelle mesure l'axiome du choix nous permet de dire que tout e.v. possède des bases algébriques ? (si quelqu'un a en gros l'idée de la démo ^^)
-Avec la négation de l'axiome du choix, qu'enlève-t-on comme branche des mathématiques ?

Merci !

[invitec053041c]

-Avec la négation de l'axiome du choix, qu'enlève-t-on comme branche des mathématiques ?

L'axiome du choix est indécidable , donc qu'il soit vrai ou pas, il ne contredira pas le reste des mathématiques.

[Médiat]

L'axiome du choix est indécidable , donc qu'il soit vrai ou pas, il ne contredira pas le reste des mathématiques.

Non, tu as raison, mais la question de Abhorash est quand même parfaitement légitime, sans l'axiome du choix, il y a des théorèmes que l'on ne peut pas démontrer (existence de base dans les ev de dimension infini par exemple), l'exemple que je trouve le plus parlant est que sans l'axiome du choix on ne peut pas définir les cardinaux tels qu'on les connaît (mais une version très faible), dans la mesure ou sans cet axiome, on ne peut pas affirmer que toutes les classes d'équipotence contiennent un ordinal.

[Gwyddon]

Hello,

Pour la 1ère question d'Abhorash, on peut utiliser l'axiome du choix dans sa version "lemme de Zorn", et ça marche pas trop mal (même si j'ai des souvenirs lointains de la démo...)

[invite4ef352d8]

a chaque fois qu'on veut utiliser l'axiome du choix de facon non trivial (tous les EV admette des base, tous ss EV admet un suplémentaire, tous anneau admet un ideal maximal... etc etc...) on l'utilise sous la forme de lemme de Zorn :


Soit E un ev

On considere M l'ensemble des parti libre de E,partiellement ordoné par la relation d'inclusion.

On vérifie que M est inductif :

soit P un sous ensemble de M totalement ordoné.
posons U= la réunion des elements de P.
montrons que U appartiens a M, ie que U est une famille libre.

soit (x1...xn) une famille finit de U, alors il exite p1..pn des elements de P telle que x1 est dans p1, x2 dans p2 ... et xn est dans pn.
P etant totalement ordoné, la famille (finit) p1...pn admet un plus grand element (pour l'inclusion), qu'on notera K, la famille (x1...xn) est donc un sous ensemble de K, qui est un element de P, donc de M donc une famille libre. donc x1..xn est libre.
toute les sous famille finit de U sont libre. donc U est libre !

U est donc bien un element de M, et U est un majorant de P.

M est donc inductif.

donc il existe au moins un element maximal dans M : m

on vérifie facilement que m est un base de E :
-m est libre par définition.
-soit x un element de E, alors (m union {x}) contiens m, donc majore m, donc n'est pas element de M puisque m est un element maximal de M; donc (m union {x} ) est lié. ce qui prouve que x est généré par m. donc que m est génératrice.

m est donc une base de E !

[invitec859637e]

Merci à tous !

Ksilver, comment montre-t-on du coup que tout e.v. possède des bases algébriques ? (je veux dire que tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire finie de vecteurs de la base)

[Gwyddon]

Merci à tous !

Ksilver, comment montre-t-on du coup que tout e.v. possède des bases algébriques ? (je veux dire que tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire finie de vecteurs de la base)

Euh, c'est la définition d'une base non ? Tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire finie des vecteurs de base, et ces vecteurs de bases sont libres...

[invitec859637e]

Euh, c'est la définition d'une base non ? Tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire finie des vecteurs de base, et ces vecteurs de bases sont libres...

Au temps pour moi alors, je ne me souvenais pas que les vecteurs pouvaient s'écrire en comb. lin. finie. (je pensait que justement c'était ce qu'on appelait une base algébrique).
Dans ce cas pourquoi parle-t-on de base algébrique ? (Ou est-ce la même chose ?)

[invite4ef352d8]

c'est exactement ce que je viens de faire Abhorash. la base construite est une base algébrique...

mais peut-etre devrait tu regarder sur Wikipédia les quelques définition neccesaire a comprendre la démonstration (parti totalement ordoné, element maximal, ensemble inductif...)

j'ai fait cette démo en spé en DM : les trois premiere parti du DM servait principalement à prouver le lemme de Zorn a partir de l'axiom du choix, la fin etait composé de 4 question indépendante d'application du lemne de Zorn (dont celle ci)

[invitec859637e]

mais peut-etre devrait tu regarder sur Wikipédia les quelques définition neccesaire a comprendre la démonstration (parti totalement ordoné, element maximal, ensemble inductif...)

En effet il me manque des notions d'algèbre (je n'en ai malheureusement pas beaucoup fait pendant mon premier cycle ...).
Merci.

[invite4ef352d8]

Par défaut une base c'est quand on engendre par des combinaison linéaire finit.

les "bases" aux qu'elle tu pense (je sais pas comment on les apellent), sont juste des bases d'une parti dense de l'ensemble, mais comme la densité, c'est une notion topologique, qui dépend donc de la topologie choisit !

[invite4ef352d8]

c'est pas de l'algèbre juste un peu de théorie des ensembles. toute les définition son assez élemantaire. ce qui t'empeche de comprendre c'est un bete probleme de vocabulaire. (en spé, on avait pas de connaissance particulière sur le sujet...)

[invitec859637e]

Du coup, pour prendre l'exemple des séries de Fourier, la famille des cos(nx) et sin(nx) n'est pas une base algébrique des fonctions 2Pi-périodiques ? (car pour décomposer une fonction on a souvent besoin d'un ensemble dénombrable de tels vecteurs)

A-t-on des pistes pour savoir à quoi pourrait ressembler une telle base ?
(Désolé si je suis un peu lourd )