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Recurrence probleme de prepa 1



  1. #1
    lenette

    Exclamation Recurrence probleme de prepa 1


    ------

    Bonsoir ! Je vous ecris car je suis désespéré. Voila 4 jours que je bloque sur un maudit exercice donné par mon prof en TD et a faire pr vendredi matin et je ny artrive décidément pas. Je vous poste donc lenoncé en priant vos esprits réflechis de m eclairer ... Le pire c est que jai des pistes mais je ne voit pas en quoi elles me servent !!!! j en viens meme a penser que cet exo est un fake lol ce qui je le sais bien nest surment oas le cas.

    Montrer que, pour tout n € N - {0, 1} si b1, b2,...,bn désignent n réels > 0 , non tous égaux !, dont le produit est égal à 1 alors la somme est >n .

    Aide: emploi du raisonnement par recurrence et classez les bi tels que b1< ou egal a b2... inferieur egal a bn en les numerotant si necessaire puis considerez b1 x bn +b2+... +bn-1

    Je pars donc du fait que pour le rang n= 2 on prend b1 et b2=1/b1 afin davoir le produit egal a 1. On prend bien entendu different de 0, -1 et 1 car ils doivent etre differents et supérieurs a 0 mais je narrive pas a caler comment prouver que laddition est superieure a 2 et donc je bloque des le rang n=2 donc je ne vous parle pas du rang suivant n+1

    ET JE NEN PEUX PLUUUUUS lol merci davance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Coincoin

    Re : Recurrence probleme de prepa 1

    Salut,
    Pour le rang 2, tu veux x+1/x>2. Étudie donc la fonction x->x+1/x.
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    Médiat

    Re : Recurrence probleme de prepa 1

    Pour passer de n-1 à n, tu dois démontrer que b1 + b2 + .... + bn >= n (inéquation (1))(avec b1 <= b2 <= ... <= bn)
    comme b1b2...bn =1 peut aussi s'écrire (b1bn)b2...b(n-1) qui est un produit de n-1 réels positifs, par hypothèse de récurence on peut écrire :
    b1bn + b2 + ... + bn-1 >= n-1.
    On veut démontrer que b1 + b2 + .... + bn >= n ce qui est équivalent à
    b1 + bn - b1bn + b1bn + b2 + ... bn-1 >= n or, avec l'HR on peut écrire
    b1+bn -b1bn + n-1 >= n c'est à dire
    b1 + bn -b1bn >= 1 (inéquation (2)),
    or pour que le produit de n réels positifs soit = à 1, ils ne peuvent être tous plus grands que 1 ni tous plus petits que 1, comme on les a mis dans l'ordre on sait donc que b1 <= 1, et bn >= 1, en posant bn = 1 + x, avec x>=0, l'inéquation (1)
    devient b1 + 1 + x -b1(1+x) >=1 c'est à dire
    x(1-b1)>=0 or x>=0 et 1>= b1 cqfd!

    Désolé pour une rédaction baclée, mais je me lève tôt demain matin
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    rvz

    Re : Recurrence probleme de prepa 1

    Salut,

    Dites moi si je délire, mais ce n'est rien d'autre que l'inégalité arithmético-géométrique à n termes => C'est une inégalité de convexité standard.

    1/ Montre que pour tout x,y>0, et discute les cas d'égalité.

    2/ Par Jensen, déduis en que
    et discute à nouveau les cas d'égalité.

    __
    rvz

  6. A voir en vidéo sur Futura

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