Recurrence probleme de prepa 1

[inviteb2279bf6]

Bonsoir ! Je vous ecris car je suis désespéré. Voila 4 jours que je bloque sur un maudit exercice donné par mon prof en TD et a faire pr vendredi matin et je ny artrive décidément pas. Je vous poste donc lenoncé en priant vos esprits réflechis de m eclairer ... Le pire c est que jai des pistes mais je ne voit pas en quoi elles me servent !!!! j en viens meme a penser que cet exo est un fake lol ce qui je le sais bien nest surment oas le cas.

Montrer que, pour tout n € N - {0, 1} si b₁, b₂,...,b_n désignent n réels > 0 , non tous égaux !, dont le produit est égal à 1 alors la somme est >n .

Aide: emploi du raisonnement par recurrence et classez les bi tels que b₁< ou egal a b₂... inferieur egal a b_n en les numerotant si necessaire puis considerez b₁ x b_n +b₂+... +b_n-1

Je pars donc du fait que pour le rang n= 2 on prend b₁ et b2=1/b₁ afin davoir le produit egal a 1. On prend bien entendu different de 0, -1 et 1 car ils doivent etre differents et supérieurs a 0 mais je narrive pas a caler comment prouver que laddition est superieure a 2 et donc je bloque des le rang n=2 donc je ne vous parle pas du rang suivant n+1

ET JE NEN PEUX PLUUUUUS lol merci davance
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[invite88ef51f0]

Salut,
Pour le rang 2, tu veux x+1/x>2. Étudie donc la fonction x->x+1/x.

[Médiat]

Pour passer de n-1 à n, tu dois démontrer que b1 + b2 + .... + bn >= n (inéquation (1))(avec b1 <= b2 <= ... <= bn)
comme b1b2...bn =1 peut aussi s'écrire (b1bn)b2...b(n-1) qui est un produit de n-1 réels positifs, par hypothèse de récurence on peut écrire :
b1bn + b2 + ... + bn-1 >= n-1.
On veut démontrer que b1 + b2 + .... + bn >= n ce qui est équivalent à
b1 + bn - b1bn + b1bn + b2 + ... bn-1 >= n or, avec l'HR on peut écrire
b1+bn -b1bn + n-1 >= n c'est à dire
b1 + bn -b1bn >= 1 (inéquation (2)),
or pour que le produit de n réels positifs soit = à 1, ils ne peuvent être tous plus grands que 1 ni tous plus petits que 1, comme on les a mis dans l'ordre on sait donc que b1 <= 1, et bn >= 1, en posant bn = 1 + x, avec x>=0, l'inéquation (1)
devient b1 + 1 + x -b1(1+x) >=1 c'est à dire
x(1-b1)>=0 or x>=0 et 1>= b1 cqfd!

Désolé pour une rédaction baclée, mais je me lève tôt demain matin

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Dites moi si je délire, mais ce n'est rien d'autre que l'inégalité arithmético-géométrique à n termes => C'est une inégalité de convexité standard.

1/ Montre que pour tout x,y>0, et discute les cas d'égalité.

2/ Par Jensen, déduis en que
et discute à nouveau les cas d'égalité.

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rvz

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