Bonjour,
Je me pose la question suivante au sujet des arborescences binaires infinies :
1. Est-il possible de définir "l'ensemble des feuilles" d'un tel arbre ? (en considérant la limite à l'infini du processus de construction de l'ensemble des feuilles de profondeur n par exemple...)
2. Si oui peut on établir une bijection entre l'ensemble des feuilles et l'ensemble des chemins infinis qui partent de la racine ?
J'ai essayé d'apporter un élément de réponse à la première question :
Voici comment je construis mon arboresence A binaire infinie :
On se donne un sommet racine * et chaque sommet de A possède exactement deux fils différents l'un de l'autre (un fils droit et un fils gauche).
Ensuite je peux attribuer à chaque sommet une coordonnée différente dans un repère orthogonal.
On attribue par coor le point de coordonnées coor(*) = (1,1) à la racine *.
On attribue par coor les points de coordonnées coor(e)=(x_e,y_e) à chaque sommet e de l'arborescence en fonction du point de coordonnées (x_p, y_p)attribué à son père, c'est à dire :
\begin{itemize}
\item x_e=x_p - y_p/2 et y_e=y_p/2 ssi e est le fils droit de p
\item x_e=x_p+y_p/2 et y_e=y_p/2 ssi e est le fils gauche de p
\end{itemize}
On obtient une sorte de fractale qui présente une série de points qui se répartissent en pyramide et dont le sommet est *. Cette série de points converge vers le segment défini entre les coordonnées (0,0) et (2,0) lorsqu'on effectue une infinité d'itérations du processus (c'est la base de la pyramide).
coor est une bijection entre les sommets de A et les points de la figure obtenue.
Peut-on dire que les feuilles de A correspondent aux points du segment entre (0,0) et (2,0) ?
C'est la manière que j'ai trouvé de définir les feuilles de A. Est-ce correct ?
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Envoyé par hedonyPower 
et on peut dire