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Diagonale de Cantor



  1. #1
    hedonyPower

    Diagonale de Cantor


    ------

    Bonjour,

    J'ai beaucoup de mal avec les ensembles infinis et notamment en ce moment j'étudie le procédé de diagonalisation de Cantor, et une chose m'échappe :

    Si dans la preuve on remplace R par Q en admettant qu'on ne sache pas que Q soit dénombrable, n'obtient-on pas que Q est indénombrable ?

    Les étapes donneraient à peu près ceci :

    On suppose qu'on ne sache pas si Q est dénombrable ou pas.
    Je souhaite prouver que l'ensemble Q est non dénombrable, alors il faut prouver que pour toute partie dénombrable D de Q, je peux construire
    un élément de Q qui n'appartienne pas à D.

    1. Soit une partie dénombrable D des rationnels Q.

    2. On exhibe l'élément diagonal de D (différent de tous les autres éléments).

    3. Il n'est pas dans D.

    4. Et comme on a pris une partie quelconque de Q, Q est non dénombrable.

    Qu'est-ce qui cloche ?
    Merci d'éclairer ma lanterne et désolé de la naïveté de la question
    A+

    -----

  2. #2
    Coincoin

    Re : Diagonale de Cantor

    Salut,
    Comment construis-tu ton élément ? Comment sais-tu qu'il est n'est pas dans D ? qu'il est encore dans Q ?
    Encore une victoire de Canard !

  3. #3
    super nono

    Re : Diagonale de Cantor

    Oui.

    Ecris nous la preuve plus précisément, il y a plusieurs façons d'utiliser l'argument de la diagonale.

    Celle que je connais :

    - Soit f une fonction de N dans R
    - Soit x le nombre réel construit de sorte que son nième chiffre est le suivant du nième chiffre de f(n). (ou 0 si nième chiffre de f(n) est 9).
    - Alors par construction x n'est l'image d'aucun entier. Et donc f n'est pas une bijection.

    Cette preuve ne peut pas s'utiliser pour f : N -> Q ; parce que comme l'a dit Coin Coin rien ne garantit que le x ainsi construit sera un rationnel.

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