Diagonale de Cantor

[invite3443c7ee]

Bonjour,

J'ai beaucoup de mal avec les ensembles infinis et notamment en ce moment j'étudie le procédé de diagonalisation de Cantor, et une chose m'échappe :

Si dans la preuve on remplace R par Q en admettant qu'on ne sache pas que Q soit dénombrable, n'obtient-on pas que Q est indénombrable ?

Les étapes donneraient à peu près ceci :

On suppose qu'on ne sache pas si Q est dénombrable ou pas.
Je souhaite prouver que l'ensemble Q est non dénombrable, alors il faut prouver que pour toute partie dénombrable D de Q, je peux construire
un élément de Q qui n'appartienne pas à D.

1. Soit une partie dénombrable D des rationnels Q.

2. On exhibe l'élément diagonal de D (différent de tous les autres éléments).

3. Il n'est pas dans D.

4. Et comme on a pris une partie quelconque de Q, Q est non dénombrable.

Qu'est-ce qui cloche ?
Merci d'éclairer ma lanterne et désolé de la naïveté de la question
A+
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[invite88ef51f0]

Salut,
Comment construis-tu ton élément ? Comment sais-tu qu'il est n'est pas dans D ? qu'il est encore dans Q ?

[invite66b0c17a]

Oui.

Ecris nous la preuve plus précisément, il y a plusieurs façons d'utiliser l'argument de la diagonale.

Celle que je connais :

- Soit f une fonction de N dans R
- Soit x le nombre réel construit de sorte que son nième chiffre est le suivant du nième chiffre de f(n). (ou 0 si nième chiffre de f(n) est 9).
- Alors par construction x n'est l'image d'aucun entier. Et donc f n'est pas une bijection.

Cette preuve ne peut pas s'utiliser pour f : N -> Q ; parce que comme l'a dit Coin Coin rien ne garantit que le x ainsi construit sera un rationnel.