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Ensemble de Cantor



  1. #1
    Quinto

    Ensemble de Cantor


    ------

    Salut,
    je suis tombé sur une définition de l'ensemble de Cantor assez douteuse. (je pense que l'auteur a confondu disconnexité et discontinuité, à moins que j'ai mal compris)
    J'aimerai savoir ce que vous donneriez comme définition d'un ensemble de Cantor, et si vous pouviez me donner un ou deux exemples qui ne soit pas celui du triadique, j'apprecierai beaucoup.

    Notamment je cherche un tel ensemble d'ouverture vide et de mesure non nulle.

    Question subsidiaire:
    Sont ils tous totalement disconnexes?

    Si vous pouviez juste me donner déjà certaines pistes, ca m'aiderait beaucoup.
    Amicalement,
    Quinto

    -----

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  3. #2
    µµtt

    Re : Ensemble de Cantor

    Salut Quinto,


    Un ensemble d'intérieur (= ouverture j'imagine ?) vide est forcément totalement disconnexe sinon il contiendrait une composante connexe (= intervalle dans IR) non réduite à un point et donc d'intérieur non vide.

    Quant aux autres définitions, j'ai pas bien compris ce que tu veux.


    Une catractérisation topologique de K3 est :

    un espace topologiquie X est homéomorphe à K3 ssi il est métrisable, compact, totalement discontinu et sans point isolé.

    Et on ne peut pas "retirer" une hypothèse. Aucune idée si ça t'aide

  4. #3
    Quinto

    Re : Ensemble de Cantor

    Salut,
    merci de ta participation
    en fait je sais qu'un tel ensemble est totalement disconnexe.
    En fait ce que je cherche c'est une définition assez propre d'un ensemble de Cantor.

    J'ai lu que c'était l'image par un homéomorphisme d'une partie de
    {0,1}^N*.

    Ce que je me demande, c'est si tout tel ensemble est totalement disconnexe.
    Et comment en construire un dont l'intérieur est vide et de mesure non nulle. (auquel cas, celui ci sera bien totalement disconnexe en effet)

    Ensuite il part évidemment sur la construction (en 3 lignes) de K3 en prenant l'homéomorphisme f suivant:
    {0,1}^N*->[0,1]
    f(x)=2*somme de ai/3^i

    Et dit d'une certaine manière que c'est trivial.

  5. #4
    µµtt

    Re : Ensemble de Cantor

    >>en fait je sais qu'un tel ensemble est totalement disconnexe.
    >>Ce que je me demande, c'est si tout tel ensemble est totalement
    disconnexe.





    T'es sûr que ça va bien quinto ?


    "tel ensemble" = ???

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Quinto

    Re : Ensemble de Cantor

    Je répondais à ce que tu me disais
    tel ensemble = ensemble d'intérieur vide (intérieur = ouverture)
    Un ensemble d'intérieur vide est totalement disconnexe, sinon comme tu le dis, il contient un intervalle ouvert, qui serait une composante connexe.

  8. #6
    µµtt

    Re : Ensemble de Cantor

    Re,




    Sinon K3 est bien homéomorphe à {0,1}^IN muni de la topologie discrète et c'est pas dur à voir :
    {0,1}^IN est homéomorphe à {0,1}^IN* (décaler les indices) lui même homéophorme à {0,2}^IN*

    - x = Sum f_n(x)/3^n avec f_n(x) € {0,2} par "définition" (sinon on prend celle habituelle où on saucissone [0..1]).
    - On a |x-y| < 1/3^n => f_n(x) = f_n(y).
    - Les f_n sont donc C° et f : x -> (f_n(x)) est C° (par définition de la topologie produit).
    - K3 et {0,2}^IN* sont compacts (Tychonov) et f est bien un homéomorphisme.

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  10. #7
    Quinto

    Re : Ensemble de Cantor

    Salut µµtt,
    merci pour tout.
    En fait je cherche justement un ensemble de Cantor autre que K3
    K3 je le connais relativement bien, et il est classique.
    Je cherche justement les non classique.
    Notamment parce qu'en intégration, il arrive que l'on travaille sur des ensembles de mesure non nulle, mais d'intérieur vide. J'aimerai justement en trouver un si possible, et mon prof m'a dit de regarder du coté de Cantor généralisé; ce que je fais

  11. #8
    µµtt

    Re : Ensemble de Cantor

    Re,


    On peut construire des Cantor de la mesure que l'on veut comme ça :

    Lorsqu'on construit K3, au lieu d'enlever le tiers du mileu on enlève l'intervalle du milieu de longueur a(n) * longueur de l'intervalle.

    On obtient un ensemble de mesure produit (1-a(n)) != 0 (en prenant sum a(n) < +oo), qui est, comme K3, compact, totalement discontinu et sans point isolé (et de la puissance du continu en prime).

  12. #9
    Quinto

    Re : Ensemble de Cantor

    Salut,
    si je comprend bien, l'idée est de toujours enlever un intervalle, mais de longueur variable, et non plus constant comme dans le cas de K3 (où l'on enlève un intervalle de longueur 1/3).
    C'est ça?
    A+

  13. #10
    µµtt

    Re : Ensemble de Cantor

    Zactement

  14. #11
    Stephen

    Re : Ensemble de Cantor

    C'est ça, ça change la dimension topologique aussi, c'est un peu plus compliqué à calculer que log(2)/log(3).

    Un truc sympathique avec K : il est homéomorphe à K^n (pas trivial).

    De manière générale, quand on dit "soit K un Cantor", ça signifie "soit K un espace topologique métrisable compact, totalement déconnecté et sans point isolé". Totalement déconnecté veut dire que ses composantes connexes sont des singletons.

    Edit : je suis pas revenu depuis un an, mais je suis content de revoir les mêmes visages. Salut les amis
    Dernière modification par Stephen ; 26/06/2005 à 10h19.

  15. #12
    Quinto

    Re : Ensemble de Cantor

    Citation Envoyé par Stephen
    je suis pas revenu depuis un an
    Et t'en es fier?

    Merci pour vous explications à tous les deux.
    Sinon c'est quoi une dimension topologique concretement?
    Comment on la définierait?
    Amicalement,
    Quinto

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  17. #13
    Stephen

    Re : Ensemble de Cantor

    Une "dimension topologique", c'est un nombre - entier - associé à un espace topologique et invariant par homéomorphisme, qui possède certaines propriétés naturelles : par exemple si , alors

    Si tu veux, je peux la définir de trois manières, la première pour des espaces réguliers (c'est à dire que les singletons sont fermés et que l'on peut séparer par des ouverts disjoints un point et un fermé), la seconde pour des espaces normaux (tu reprends la définition ci-dessus mais en prenant deux fermés disjoints et non un singleton et un fermé), la dernière pour les espaces topologiques en général.

    En fait ces trois définitions vont coincider pour les espaces métrisables et séparables (i.e. qui contiennent une partie dénombrable et dense). C'est un théorème fondamental en théorie de la dimension.

    La première, c'est la petite dimension inductive : on impose que dim(X) = -1 si et seulement si X est vide. Ensuite, on dit que si et seulement si pour tout point x et tout voisinage V de x, il existe un voisinage U de x contenu dans V dont le bord est de dimension plus petite que n-1. On dit alors que

    Ensuite, on définit la grande dimension inductive, pour un espace normal : en fait tu reprends la définition ci-dessus mais tu remplaces x par un fermé de X.

    Finalement, on définit pour un espace topologique quelconque X la dimension de recouvrement comme suit :

    L'ordre d'un recouvrement ouvert d'un espace topologique X est le plus grand nombre n d'ouverts intervenant dans une intersection non vide. Un recouvrement A est subordonné à B si chaque ouvert de A est contenu dans un ouvert de B.

    On dit que X est de dimension plus petite que m si à tout recouvrement ouvert de X on peut subordonner un recouvrement d'ordre m+1. La dimension de X est le plus petit entier m qui vérifie cette propriété.

    Voilà, tu as trois notions. Une dernière est de faire la chose suivante : pour un espace métrique séparable (X,d), j'appelle dimension métrique la quantité



    où N(e) est le nombre de recouvrement de X, c'est à dire le plus petit nombre de boules de rayon e qu'il faut pour recouvrir X (on trouve cap(e) dans la litterature). Il est fini parce que X est séparable.

    C'est un invariant métrique. Maintenant, si X est simplement métrisable séparable, je regarde l'inf de toutes les pris sur toutes les métriques compatibles avec la topologie de X :




    Je tombe sur un invariant topologique, qui se trouve être un nombre entier qui correspond avec les notions de dimension qui précèdent (c'est un résultat dû à Pontrjagin et Schnirelmann au début des années 20).

    J'ai un texte assez complet là-dessus - si tu me fais parvenir un email je te l'envoie. Je ne le mets pas à disposition parce que je ne suis pas le seul auteur et je ne sais pas si j'ai le droit.
    Dernière modification par Stephen ; 26/06/2005 à 11h05.

  18. #14
    Stephen

    Re : Ensemble de Cantor

    j'ai oublié une limite dans mon message précédent, dans la définition de : il faut prendre la lim inf quand e -> 0.

  19. #15
    Quinto

    Re : Ensemble de Cantor

    Salut,
    merci pour toutes ses précisions, ca ne me semble pas évident de prime abord.
    Je pensais qu'éventuellement ca aurait un rapport avec les caractéristiques d'Euler, mais en fait non.
    Amicalement.

  20. #16
    Stephen

    Re : Ensemble de Cantor

    Si si, c'est très simple, il faut juste prendre le temps de lire les définitions avec un papier et un crayon. Si jamais, je trouve que la dimension de recouvrement est la plus simple à appréhender (tu peux montrer facilement que la dimension de est bien ce à quoi on s'attend.

  21. #17
    C.B.

    Re : Ensemble de Cantor

    Citation Envoyé par µµtt
    Re,




    Sinon K3 est bien homéomorphe à {0,1}^IN muni de la topologie discrète et c'est pas dur à voir :
    {0,1}^IN est homéomorphe à {0,1}^IN* (décaler les indices) lui même homéophorme à {0,2}^IN*

    - x = Sum f_n(x)/3^n avec f_n(x) € {0,2} par "définition" (sinon on prend celle habituelle où on saucissone [0..1]).
    - On a |x-y| < 1/3^n => f_n(x) = f_n(y).
    - Les f_n sont donc C° et f : x -> (f_n(x)) est C° (par définition de la topologie produit).
    - K3 et {0,2}^IN* sont compacts (Tychonov) et f est bien un homéomorphisme.
    Il y a confusion entre topologie discrète et topologie produit :
    {0,1}^IN muni de la topologie discrète n'est pas compact : l'ensemble des singletons est un recouvrement infini d'ouverts duquel on ne peut extraire de sous-recouvrement, ce qui contredit la propriété de Borel Lebesgue.
    {0,1}^IN muni de la topologie produit est compact, par Tychonov.

    Je ferais remarquer la propriété suivante :
    Un ensemble X muni de la topologie discrète est compact si et seulement si il est fini.

  22. #18
    Quinto

    Re : Ensemble de Cantor

    Oui c'est vrai, je pense que µµtt a confondu car le résultat que tu énonces est en effet assez simple en utilisant la propriété de Borel Lebesgue, les singletons étant ouverts pour la topologie discrète
    Merci pour cette petite rectification...

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  24. #19
    µµtt

    Re : Ensemble de Cantor

    Salut,


    J'avais juste oublié un mot : c'est {0,1} qui est muni de la topologie discrète évidemment.

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