SOS mémoire sur CANTOR
je realise un mémoire sur Cantor et je voudrais savoir si certains d'entre vous peuvent me dire quelles a était la portée logicomathématiques de ses theoreme sur comparaison des infini et comment son t il perçu par les mathématiciens actuels.
Merci.
Léa
Bonjour et bienvenue.
Ta question est plutôt vaste!
Je ferais simplement ces petites remarques:
1) Les travaux de Cantor sur l'infini sont étroitement liés à la topologie des nombres réels: il travaillait sur la convergence des séries trigonométriques et il a été amené à définir la notion d'ensemble dérivé, etc... Ainsi il a contribué à l'étude dela topologie avec notamment Dedekind (avec qui il correspondait depuis 1972), et d'autres (Heine, Borel, Lebesgue et j'en oublie).
2) Il est l'initiateur de la notion d'ordinal est d'ensemble ordonné (justement avec les ensembles dérivés).
3) L'hypothèse du continu est resté longtemps un défi (Gödel, 1938; Cohen, 1962) et à ce titre à stimuler les logiciens dans leur recherche.
4) L'hypothèse du continu n'est pas "utile" pour faire des mathématiques, en comparaison avec l'axiome du choix par exemple: très peu de théorème font usage de HC, à ma connaissance.
En espérant t'avoir un peu aidée.
Cordialement.
PS: une réf: J. Dieudonné, Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann. p.265-271, 275-283.
Cantor Champion
Je sais que je vais commencer vous sembler un peu obsessionnel mais savez vous quelles ont été les conséquences d'un point de vu mathématiques et logiques des travaux de Cantor ...?
Salut,
"Qui nous sortira du paradis créé pour nous par Cantor ". David Hilbert
Est-il besoin d'en dire plus ?
Bonjour,
il est inutile de multiplier les fils concernant un même sujet. J'ai donc fusionné votre nouvelle requête avec la première.
Merci de votre compréhension.
Pour la modération.
Salut,Envoyé par lealea
tu n'aurais pas des questions plus précises? Qu'entends-tu exactement par "conséquences en mathématiques et en logiques"?
Encore merci pour ton aide ses dernières semaines.
Je voudrais comprendre si les théories de Cantor ont eu finalement peu de conséquences ( ces théories étaient bien sur nécéssaire, il fallait les faire, les fondations des maths sotn enfin solide mais rien ce n'est pas la récolution...) ou si les travaux de Cantor ont vraiment eu un impact dans les mathématiqueset la logique...
Je ne sais pas si je suis trés claire...
Léa
Salut,
Oui, les travaux de Cantor ont constitué une révolution, avec beaucoup de conséquences!
Mais il est difficile de dissocier le travail de Cantor de celui de ses successeurs qui ont continué à explorer le domaine. De plus, un certain nombre de ses idées ne furent acceptées que progressivement (cf. la suspicion que portait Kronecker au sujet de l'article soumis au Journal de Crelle en 1877).
Les avancées majeures de Cantor concernent:
- la topologie de IR: il introduit la notion ensemble dérivé au sujet de la convergence des séries trigonométriques. (ensemble des points d'accumulation - on est pas loin du théorème de Bolzano-Weierstrass, 1877 )
- la théorie des ensembles qu'il a fondé (il introduit clairement le concept de bijection, définit la notion de cardinal, et étudie les ensembles bien-ordonnés). Il prouve que IR n'est pas dénombrable et conjecture l'hypothèse du continu. Il montre aussi que IR et IRn sont équipotents.
- les nombres algébriques, dont il démontre la dénombrabilité, et ainsi, l'existence des nombres transcendants.
Qu'il s'agisse de la théorie des nombres, la topologie ou la théorie des ensembles, les résultats de Cantor sont incontournables dans les mathématiques modernes. Ceux-ci ont en particulier bouleversé la conception du continu, qui se révèle beaucoup plus complexe que ne le pensait les mathématiciens du XIX° siècle.
Voili, j'espère que ça répond un peu à ta question.
Cordialement.
