problème spé maths récurrence TS
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problème spé maths récurrence TS



  1. #1
    invite325a4a05

    problème spé maths récurrence TS


    ------

    bonjour à tous !

    voilà j'ai un dm de maths et je dois résoudre un prob de récurrence en spé maths dont l'intitulé est :

    " montrer que qqsoit n, n appartenant aux entiers naturels, an = (9n-1)10n+1 est un multiple de 9"

    j'ai fais l'initialisation et j'ai posé mon hypothèse et conclusion de récurrence. lorsque je développe je dis :

    d'une part (9k-1)10k+1 =9q avec q appartenant à Z

    et d'autre part

    a(k+1) = (9(k+1))10(k+1)+1

    voilà, je dévellope mais je n'arrive pas à finir sur une expression du type 9X.
    bien qu'en remplacement 10k+1 = 10k*10 = ((9q-1)/(9k-1))*10


    à l'aide s'il vous plait !!!

    -----

  2. #2
    DSCH

    Re : problème spé maths récurrence TS

    Bonjour, ton expression pour est incorrecte. Quand tu remplaces k par k+1, 9k-1 devient 9(k+1)-1 et non 9(k+1).
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  3. #3
    invite325a4a05

    Re : problème spé maths récurrence TS

    merci mais comme je suis nouveau sur le site, je savais pas comment modifier mon message, j'étais conscient de cette erreur!

    mais à nouveau problème ! en effet j'arrive à (9k+8)10(k+1) +1 et après je bloque at je n'arrive pas à mettre sous le forme 9 fois qqchose

    merci d'avance

  4. #4
    DSCH

    Re : problème spé maths récurrence TS

    L'idée, pour pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence, c'est de faire apparaître 9k-1. Or, tu as 9k+8=9k-1+9… Tu vois comment continuer ?
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite2220c077

    Re : problème spé maths récurrence TS

    Il y'a plus rapide que la récurrence sinon.

    On a : 9n - 1 = -1[9] <=> 10^n(9n - 1) = -10^n [9] <=> 10^n(9n - 1) + 1 = 1 - 10^n [9]

    Or, 10 = 1[9] => 10^n = 1[9] <=> 1 - 10^n = 1 - 1 = 0[9], et donc par transitivité, 10^n(9n - 1) + 1 = 0[9]

  7. #6
    DSCH

    Re : problème spé maths récurrence TS

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Il y'a plus rapide que la récurrence sinon.

    On a : 9n - 1 = -1[9] <=> 10^n(9n - 1) = -10^n [9] <=> 10^n(9n - 1) + 1 = 1 - 10^n [9]

    Or, 10 = 1[9] => 10^n = 1[9] <=> 1 - 10^n = 1 - 1 = 0[9], et donc par transitivité, 10^n(9n - 1) + 1 = 0[9]
    Oui, c'est plus rapide avec les congruences, mais notre posteuse initiale n'a peut-être pas encore vu cela ; et puis cela reste un bon exercice pour s'entraîner à rédiger une preuve par récurrence.

    Dans ta rédaction, la première fléche d'équivalence me fait tiquer ; mieux vaut se contenter de l'implication , car pour la réciproque , on devrait effectuer une division, opération a priori non compatible avec les congruences (bon, ici, ça marche, mais ce serait à justifier ; or, cette réciproque ne sert à rien ici). À part ça, c'est bien vu.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  8. #7
    invite325a4a05

    Re : problème spé maths récurrence TS

    merci pour cette indication j'ai effectivement inséré le 9k-1. mais (je sais je suis coriace) il y a encore un problème :

    on a donc : ak+1 = (9k-1+9)10k+1 +1 <=> 10k+1 [(9q-1/10k)+9]+1

    j'arrive finalement à une expression du type 10[9q-1+9*10k]+1

    après je pense que c'est moi qui doit faire des erreurs...pouvez-vous détaillez le calcul ?

    merci bcp, en vous remerciant pour ce que vous avez déjà fait

  9. #8
    DSCH

    Re : problème spé maths récurrence TS

    Je ne te suis plus dans ton calcul… On a
    .
    Et tu peux remplacer, comme tu l'as dit plus haut, par . Cela ne simplifierait-il pas des choses (à condition d'effectuer le remplacement au bon endroit) ? La suite du calcul, c'est pour toi !
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  10. #9
    invite325a4a05

    Re : problème spé maths récurrence TS

    par moment je peux être très bête.... merci beaucoup !!!

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