problème spé maths récurrence TS

[invite325a4a05]

bonjour à tous !

voilà j'ai un dm de maths et je dois résoudre un prob de récurrence en spé maths dont l'intitulé est :

" montrer que qqsoit n, n appartenant aux entiers naturels, a_n = (9n-1)10ⁿ+1 est un multiple de 9"

j'ai fais l'initialisation et j'ai posé mon hypothèse et conclusion de récurrence. lorsque je développe je dis :

d'une part (9k-1)10^k+1 =9q avec q appartenant à Z

et d'autre part

a_(k+1) = (9(k+1))10^(k+1)+1

voilà, je dévellope mais je n'arrive pas à finir sur une expression du type 9X.
bien qu'en remplacement 10^k+1 = 10^k*10 = ((9q-1)/(9k-1))*10


à l'aide s'il vous plait !!!
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[invite03f2c9c5]

Bonjour, ton expression pour est incorrecte. Quand tu remplaces k par k+1, 9k-1 devient 9(k+1)-1 et non 9(k+1).

[invite325a4a05]

merci mais comme je suis nouveau sur le site, je savais pas comment modifier mon message, j'étais conscient de cette erreur!

mais à nouveau problème ! en effet j'arrive à (9k+8)10^(k+1) +1 et après je bloque at je n'arrive pas à mettre sous le forme 9 fois qqchose

merci d'avance

[invite03f2c9c5]

L'idée, pour pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence, c'est de faire apparaître 9k-1. Or, tu as 9k+8=9k-1+9… Tu vois comment continuer ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

Il y'a plus rapide que la récurrence sinon.

On a : 9n - 1 = -1[9] <=> 10^n(9n - 1) = -10^n [9] <=> 10^n(9n - 1) + 1 = 1 - 10^n [9]

Or, 10 = 1[9] => 10^n = 1[9] <=> 1 - 10^n = 1 - 1 = 0[9], et donc par transitivité, 10^n(9n - 1) + 1 = 0[9]

[invite03f2c9c5]

Il y'a plus rapide que la récurrence sinon.

On a : 9n - 1 = -1[9] <=> 10^n(9n - 1) = -10^n [9] <=> 10^n(9n - 1) + 1 = 1 - 10^n [9]

Or, 10 = 1[9] => 10^n = 1[9] <=> 1 - 10^n = 1 - 1 = 0[9], et donc par transitivité, 10^n(9n - 1) + 1 = 0[9]

Oui, c'est plus rapide avec les congruences, mais notre posteuse initiale n'a peut-être pas encore vu cela ; et puis cela reste un bon exercice pour s'entraîner à rédiger une preuve par récurrence.

Dans ta rédaction, la première fléche d'équivalence me fait tiquer ; mieux vaut se contenter de l'implication , car pour la réciproque , on devrait effectuer une division, opération a priori non compatible avec les congruences (bon, ici, ça marche, mais ce serait à justifier ; or, cette réciproque ne sert à rien ici). À part ça, c'est bien vu.

[invite325a4a05]

merci pour cette indication j'ai effectivement inséré le 9k-1. mais (je sais je suis coriace) il y a encore un problème :

on a donc : a_k+1 = (9k-1+9)10^k+1 +1 <=> 10^k+1 [(9q-1/10k)+9]+1

j'arrive finalement à une expression du type 10[9q-1+9*10^k]+1

après je pense que c'est moi qui doit faire des erreurs...pouvez-vous détaillez le calcul ?

merci bcp, en vous remerciant pour ce que vous avez déjà fait

[invite03f2c9c5]

Je ne te suis plus dans ton calcul… On a

.

Et tu peux remplacer, comme tu l'as dit plus haut, par . Cela ne simplifierait-il pas des choses (à condition d'effectuer le remplacement au bon endroit) ? La suite du calcul, c'est pour toi !

[invite325a4a05]

par moment je peux être très bête.... merci beaucoup !!!