Problème spé maths

[inviteae9ea1cc]

Bonjour à tous,

J'ai un problème d'arithmétique dans lequel on veut prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à -1 modulo 4 mais je bloque sur une question.

Voila l'intitulé :

Soit p un nombre premier strictement plus grand que 2. Démontrer que p est congru à -1 ou 1 modulo 4.
OK

Soit n le nombre des nombres premiers congrus à -1 modulo 4, notons A=p1*p2*...*pn le produit de ces nombres et B=4A-1.

Montrer que B est congru à -1 modulo 4.
OK

Soit q un diviseur premier de B.
Montrer que q est distinct de chacun des nombres p1, p2,..., pn précédents
OK
Montrer que parmi les diviseurs premiers de B, l'un au moins est congru à -1 modulo 4.

La est mon problème. Je pensais raisonner par l'absurde en disant que l'ensemble des q est congru à 1 modulo 4 mais je ne vois pas comment arriver à une contradiction...

Si vous pouviez m'aider.

Merci d'avance

Bobby
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[invite787dfb08]

MDR on a eu cet exo (un peu plus long en DS vendredi dernier)

Il était effectivement super dur (en une heure de DS)

Pour cette question, j'ai répondu :

si p=p1p2p3...pq et p congrue -1 [4]
alors supposons qu'aucun des termes p1...pq ne congrue à -1 [4] (raisonement par l'absurde)

ce qui impliquerait que :

p1 congrue 1 [4], d'après les questions précédents
p2 congrue 1 [4]
...
pq congrue 1 [4]

et donc le produit p1p2p3...pq congrue à 1 [4]

et donc, on en conclut qu'un au moins de facteurs premiers congrue à -1 mod 4, et d'après les règles de multiplications dans les congruences, pour que p congrue à -1 [4], il faut un nombre impair de facteurs premier congrus à -1 modulo 4

On verra bien la réponde vendredi prochain....

[inviteae9ea1cc]

Merci pour ta réponse.

Dommage que je n'ai pas eu l'exercice avant vendredi...

Ta réponse me semble juste, je te remercie.

Bobby.

P.S : bonne chance pour ta note de D.S

[invite787dfb08]

It's a pleasure

Quant a la note du DS, je pense pas qu'elle touche le plafond ...
mé jme serai quand même bien fait mal pendant une heure...

[A voir en vidéo sur Futura]