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Problème spé maths



  1. #1
    Bobby Watson

    Problème spé maths


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai un problème d'arithmétique dans lequel on veut prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à -1 modulo 4 mais je bloque sur une question.

    Voila l'intitulé :

    Soit p un nombre premier strictement plus grand que 2. Démontrer que p est congru à -1 ou 1 modulo 4.
    OK

    Soit n le nombre des nombres premiers congrus à -1 modulo 4, notons A=p1*p2*...*pn le produit de ces nombres et B=4A-1.

    Montrer que B est congru à -1 modulo 4.
    OK

    Soit q un diviseur premier de B.
    Montrer que q est distinct de chacun des nombres p1, p2,..., pn précédents
    OK
    Montrer que parmi les diviseurs premiers de B, l'un au moins est congru à -1 modulo 4.

    La est mon problème. Je pensais raisonner par l'absurde en disant que l'ensemble des q est congru à 1 modulo 4 mais je ne vois pas comment arriver à une contradiction...

    Si vous pouviez m'aider.

    Merci d'avance

    Bobby

    -----

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  3. #2
    GalaxieA440

    Re : Problème spé maths

    MDR on a eu cet exo (un peu plus long en DS vendredi dernier)

    Il était effectivement super dur (en une heure de DS)

    Pour cette question, j'ai répondu :

    si p=p1p2p3...pq et p congrue -1 [4]
    alors supposons qu'aucun des termes p1...pq ne congrue à -1 [4] (raisonement par l'absurde)

    ce qui impliquerait que :

    p1 congrue 1 [4], d'après les questions précédents
    p2 congrue 1 [4]
    ...
    pq congrue 1 [4]

    et donc le produit p1p2p3...pq congrue à 1 [4]

    et donc, on en conclut qu'un au moins de facteurs premiers congrue à -1 mod 4, et d'après les règles de multiplications dans les congruences, pour que p congrue à -1 [4], il faut un nombre impair de facteurs premier congrus à -1 modulo 4

    On verra bien la réponde vendredi prochain....

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  4. #3
    Bobby Watson

    Re : Problème spé maths

    Merci pour ta réponse.

    Dommage que je n'ai pas eu l'exercice avant vendredi...

    Ta réponse me semble juste, je te remercie.

    Bobby.

    P.S : bonne chance pour ta note de D.S

  5. #4
    GalaxieA440

    Re : Problème spé maths

    It's a pleasure

    Quant a la note du DS, je pense pas qu'elle touche le plafond ...
    mé jme serai quand même bien fait mal pendant une heure...
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  6. A voir en vidéo sur Futura

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