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Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²



  1. #1
    demone

    Arrow Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Salut à tous,

    J'ai un polynôme du troisième degré et on me dit que P(0)=0 et que P(x+1)-P(x)=x²
    Je dois montrer calculer P(3) puis déterminer P(x). (et il y a une suite mais quand j'aurais fait ça je serai déjà très content )

    J'en conclue que P(x) polynôme du troisième degré signifie qu'il existe des réels a, b, c, d tels que pour tout réel x : P(x)=ax^3+bx²+cx+d et comme P(0)=0, d=0.

    Pour calculer P(3) j'ai fais ça:

    P(x+1)-P(x)=x²
    On prend x = 2
    P(2+1)-P(2)=2²
    P(3)-1=4
    P(3)=5

    Je pense que c'est bon mais j'aimerais confirmation

    Pour déterminer P(x) je pars dans cette direction:
    P(0)=0 => d=0
    P(x)=ax^3+bx²+cx
    P(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)
    (Je développe et j'ordonne et je trouve)
    P(x+1)=ax^3+3ax²+bx²+3ax+2bx+c x+a+b+c
    Ensuite:
    P(x+1)-P(x)=3ax²+3ax+2bx+a+b+c=x²

    Et là, je suis bloqué... Que faire?




    (je reposte mon message ici car je me suis aperçu qu'il n'était pas dans le bon endroit dsl...)

    -----


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  3. #2
    Tonton Nano

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Bonjour,

    Ok pour P(3) mais il faudrait justifier en une ligne la valeur de P(2).

    Tu as une équation à 4 inconnues (a,b,c et d) donc il te faut
    4 informations indépendantes.
    P(0) = 0
    P(1) = 0
    P(2) = 1
    P(3) = 5

    ca m'a l'air pas mal. Un petit système à résoudre !

  4. #3
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    C'est passé tout seul en faisant ça:
    P(x + 1) - P(x) = x² <=> 3ax² + x(3a + 2b) + (a + b + c) = x²

    Ainsi on obtient ce système :

    3a = 1
    3a + 2b = 0
    a + b + c = 0

    Soit a = 1/3, b = -1/2 et c = -1/6
    Et donc P(x) = 1/3x^3 - 1/2x² - 1/6x

    (Merci à -Zweig-)
    Tonton nano tu trouves pareil avec ce que tu désirais faire?

    Suite:

    Je dois écrire les égalités P(x+1)-P(x)=x² pour:
    x = 1 ; x = 2 ...... ; x = n-1 ; x = n
    Et en déduire que


    Je commence:
    P(x+1)-P(x)=x²
    P(2)=1
    P(3)=5
    ...
    P(n)= ?
    P(n+1)= ?

    Comme vous le voyez, je pense a voir compris ce qu'il faut faire mais je n'y arrive plus à partir de x = n-1 ; x = n.

  5. #4
    MiMoiMolette

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Pourquoi poster cela dans deux forums différents ?
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  6. #5
    Tonton Nano

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par demone Voir le message
    Soit a = 1/3, b = -1/2 et c = -1/6
    Et donc P(x) = 1/3x^3 - 1/2x² - 1/6x

    (Merci à -Zweig-)
    Tonton nano tu trouves pareil avec ce que tu désirais faire?
    J'ai pas le même c !!! et le mien, il marche nananère !


    Citation Envoyé par demone Voir le message
    Je dois écrire les égalités P(x+1)-P(x)=x² pour:
    x = 1 ; x = 2 ...... ; x = n-1 ; x = n
    Et en déduire que

    P(n)= ?
    P(n) - P(n-1) = (n-1)2
    P(n+1) - P(n) = n2

    Et je somme tout terme à terme.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Erreur de signe pour le c c'est corrigé, merci

    P(2)-P(1) = 1²
    P(3)-P(2) = 2²
    ...
    P(n)-P(n-1) = (n-1)²
    P(n+1)-P(n) = n²

    En sommant:

    P(n+1)-P(1) = 1²+2²+...+n²

    Or : P(1)-P(0) = 0 avec P(0) = 0 donc P(1) = 0

    d'où :

    P(n+1) = 1²+...+n²

    J'arrive pas à continuer...

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  10. #7
    Tonton Nano

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par demone Voir le message
    Erreur de signe pour le c c'est corrigé, merci

    P(2)-P(1) = 1²
    P(3)-P(2) = 2²
    ...
    P(n)-P(n-1) = (n-1)²
    P(n+1)-P(n) = n²

    En sommant:

    P(n+1)-P(1) = 1²+2²+...+n²

    Or : P(1)-P(0) = 0 avec P(0) = 0 donc P(1) = 0

    d'où :

    P(n+1) = 1²+...+n²

    J'arrive pas à continuer...
    C'est bien !

    On a trouvé les coefficients de P non ?

  11. #8
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    je suis à la masse... je ne comprend plus

  12. #9
    Tonton Nano

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par demone Voir le message
    je suis à la masse... je ne comprend plus
    Tu as
    P(n+1) = 1²+...+n²
    et tu connais P(x)
    donc remplaces x par n+1 !

  13. #10
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par Tonton Nano Voir le message
    Tu as
    P(n+1) = 1²+...+n²
    et tu connais P(x)
    donc remplaces x par n+1 !
    Il faut que je fasse ça??

  14. #11
    Tonton Nano

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par demone Voir le message
    Il faut que je fasse ça??
    Oui, en étant malin de préférence !
    En regardant ce qu'on doit trouver !


    En gros, si tu développes tout, il va falloir factoriser par la suite donc c'est pas forcément une bonne idée.

    Moi, je commencerai par écrire 6 P(n+1) pour se débarasser des fractions puis je factoriserai par ...

  15. #12
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Hmm moi je ferais comme ça:
    On a P(n+1) = 1²+...+n²
    Et P(x) = (1/3)x^3-(1/2)x²+(1/6)x = (2/6)x^3-(3/6)x²+(1/6)x = (1/6)(2x^3-3x²+x)
    P(x)= (1/6).x.(2x²-3x+1)

    Il nous reste donc à calculer P(n+1).

    P(n+1) = (1/6).(n+1).(2(n+1)²-3(n+1)+1)

    Allé je file faire mes calcules et je re

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  17. #13
    Tonton Nano

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par demone Voir le message
    Hmm moi je ferais comme ça:
    On a P(n+1) = 1²+...+n²
    Et P(x) = (1/3)x^3-(1/2)x²+(1/6)x = (2/6)x^3-(3/6)x²+(1/6)x = (1/6)(2x^3-3x²+x)
    P(x)= (1/6).x.(2x²-3x+1)

    Il nous reste donc à calculer P(n+1).

    P(n+1) = (1/6).(n+1).(2(n+1)²-3(n+1)+1)

    Allé je file faire mes calcules et je re
    Développes le carré, simplifie, factorise par n et c'est gagné

  18. #14
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Erf j'ai pas de chance je trouve 1/6.n.(n+1).(2n-1) au lien de 1/6.n.(n+1).(2n+1)...

  19. #15
    Tonton Nano

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par demone Voir le message
    Erf j'ai pas de chance je trouve 1/6.n.(n+1).(2n-1) au lien de 1/6.n.(n+1).(2n+1)...
    Erreur de signe ... (dans le developpement du carré ?).
    Le résultat correct est bien celui qu'on attend.

  20. #16
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Je fais et refais le calcul et je trouve toujours pareil...
    P(n+1)=1/6.(n+1).(2(n+1)²-3(n+1)+1)
    P(n+1)=1/6.(n+1).(2(n²+2n+1)-3n-3+1)
    P(n+1)=1/6.n.(n+1).(2n²+4n+2-3n-3+1)
    P(n+1)=1/6.n.(n+1).(2n²+n)

    Yipi! En le tapant j'ai trouvé le bon résultat xD

    Merci

  21. #17
    Tonton Nano

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par demone Voir le message
    Je fais et refais le calcul et je trouve toujours pareil...
    P(n+1)=1/6.(n+1).(2(n+1)²-3(n+1)+1)
    P(n+1)=1/6.(n+1).(2(n²+2n+1)-3n-3+1)
    P(n+1)=1/6.n.(n+1).(2n²+4n+2-3n-3+1)
    P(n+1)=1/6.n.(n+1).(2n²+n)

    Yipi! En le tapant j'ai trouvé le bon résultat xD

    Merci
    De rien, bon courage pour la suite

  22. #18
    Mary_ox

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par demone Voir le message
    Erreur de signe pour le c c'est corrigé, merci

    P(2)-P(1) = 1²
    P(3)-P(2) = 2²
    ...
    P(n)-P(n-1) = (n-1)²
    P(n+1)-P(n) = n²

    En sommant:

    P(n+1)-P(1) = 1²+2²+...+n²

    Or : P(1)-P(0) = 0 avec P(0) = 0 donc P(1) = 0

    d'où :

    P(n+1) = 1²+...+n²

    J'arrive pas à continuer...

    Je ne comprend pas comment vous passez de
    P(n)-P(n-1)= (n-1)² + n²
    P(n+1)-P(n) = n²

    à

    P(n+) - P(1) = 1²+2² +...+ n²

    est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer svp?
    merci d'avance =D

  23. Publicité
  24. #19
    kaiswalayla

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par Mary_ox Voir le message
    Je ne comprend pas comment vous passez de
    P(n)-P(n-1)= (n-1)² + n²
    P(n+1)-P(n) = n²

    à

    P(n+) - P(1) = 1²+2² +...+ n²

    est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer svp?
    merci d'avance =D
    bonjour,

    t'as peut-être mal lu ce qu'il a écrit: il a ajouté les n égalités et non les 2 dernières .

    Il le dit
    en sommant

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