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1ereS -> Calcul de sommes d'un polynome à 3eme degré



  1. #1
    Lyfena

    1ereS -> Calcul de sommes d'un polynome à 3eme degré

    Bonjour,
    J'aurai besoin d'un petit coup de pouce ^^'
    Alors, déjà, voici l'énoncé de l'exercice (ou cf fichier join) ->
    1. La somme 1 + 2 + ... + n
    a. Déterminer un polynôme P, de degré 2, vérifiant pour tout x : P(x+1) - P(x) = x.
    b. Prouver l'égalité : 1 + 2 + ... + n = P(n + 1) - P(1).
    En déduire que 1 + 2 + ... + n = [n(n + 1)]/2.
    2. La somme 1² + 2² + ... + n²
    a. Déterminer un polynôme Q, de degré 2, vérifiant pour tout x : Q(x+1) - Q(x) = x².
    b. En déduire les égalités : 1² + 2² + ... + n² = Q(n + 1) - Q(1) puis 1² + 2² + ... + n² = [n(n + 1)(2n 1)]/6.

    J'ai à peu près compris le 1, bien que je n'ai pas été là pour la correction..
    Par contre, pour le 2, je bloque complètement.
    Voici ce que j'ai fait :
    2a. Soit Q(x) = ax^3 + bx² + cx + d tel que pour tout x, Q(x +1) - Q(x) = x²
    -> a(x+1)^3 + b(x+1)² + c(x+1) + d - (ax^3 + bx² + cx + d) = x²
    -> ax^3 + 3ax² + 3ax + a + bx² + b + 2bx + cx + c + d -ax^3 - bx² - cx - d = x²
    -> 3ax² + 3ax + a + b + 2bx + c = x²
    -> Racine carrée(3ax² + 3ax + a + b + 2bx + c) = x
    Par identification des coefficients des termes de même degré, on a :
    Et je bloque à ce moment là, car je vois pas comment faire avec 3ax², 3ax, etc..

    Si vous pouviez m'aider, ce serait très gentil =D

    -----

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  2. #2
    Jeanpaul

    Re : 1ereS -> Calcul de sommes d'un polynome à 3eme degré

    Quand on te dit que Q(x+1) - Q(x) = x², c'est une égalité entre polynômes, pas une équation pour trouver x.
    Tu as parfaitement commencé, reste à identifier les coefficients de x², x et les constantes. Tu trouve 3 a =1 et les autres. C'est tout.

  3. #3
    Lyfena

    Re : 1ereS -> Calcul de sommes d'un polynome à 3eme degré

    Vui, exact, merci.
    Donc, on a, à la place de "-> Racine carrée(3ax² + 3ax + a + b + 2bx + c) = x" : 3ax² + x(3a + 2b) + a + b + c = x²
    Donc, par identification des coefs des termes de même degré, on a
    3a = 1 -> a = 1/3
    3a + 2b = 0 -> 1 + 2b = 0 -> b = -1/2
    a + b + c = 0 -> 1/3 - 1/2 + c = 0 -> 2/6 - 3/6 + c = 0 -> -1/6 + c = 0 -> c = 1/6

    On prend d = 0
    On a donc : Q(x) = 1/3x^3 + 1/2x² + 1/6x vérifiant Q(x + 1) - Q(x) = x².

    C'est cela ?

    Par contre, je ne comprends pas très bien comment on sait que 3a = 1 ; 3a + 2b = 0 et a + b + c = 0 aussi..

  4. #4
    Jeanpaul

    Re : 1ereS -> Calcul de sommes d'un polynome à 3eme degré

    Dans la suite, on va te demander d'écrire cette égalité
    Q(x+1) - Q(x) = x² pour diverses valeurs de x : 1, 2, 3...jusqu'à n ou n+1.
    Il faut donc qu'elle soit vraie pour tout x.
    Or on sait que 2 polynômes n'ont la même valeur pour tout x que s'ils sont identiques, avec les mêmes coefficients partout.
    Donc tu compares les 2 polynômes Q(x+1) - Q(x) que tu as écrit avec des termes en x², x et constante (ça contient les paramètres a,b,c qui ne dépendent pas de x) et l'autre polynôme qui est le tout simple x².
    Tu veux que ces 2 polynômes soient identiques, tu compares les coefficients des termes en x², x et constante et tu dis qu'ils sont égaux.
    Tu n'as aucun moyen de calculer le terme constant du polynôme Q(x) (au-dessus, c'était la différence Q(x+1) - Q(x)), donc tu dis qu'il est nul, il ne te servirait à rien dans la suite.
    OK ?

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