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Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²



  1. #1
    demone

    Arrow Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²


    ------

    Salut à tous,

    J'ai un polynôme du troisième degré et on me dit que P(0)=0 et que P(x+1)-P(x)=x²
    Je dois montrer que P(1)=0, calculer P(3) puis déterminer P(x).

    J'en conclue que P(x) polynôme du troisième degré signifie qu'il existe des réels a, b, c, d tels que pour tout réel x : P(x)=ax^3+bx²+cx+d et comme P(0)=0, d=0.

    Cependant, je ne vois pas comment faire la suite pour montrer que P(1)=0...

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Hamb

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    1 c'est jamais que 0+1

  4. #3
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Ouai! j'ai trouvé merci
    pour tout x on a P(x+1) - P(x) = x²
    Pour x = 0 on obtient:
    P(0+1)-P(0)=0²
    P(1)-P(0)=0
    P(1)-0=0 car P(0)=0
    P(1)=0

  5. #4
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    J'ai procédé de la même manière pour montrer que P(2)=1.
    Pour calculer P(3) j'ai fais ça:

    On prend x = 2
    P(2+1)-P(2)=2²
    P(3)-1=4
    P(3)=5

    Je pense que c'est bon mais j'aimerais confirmation

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    indian58

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    C'est bon. Y a pas de problème!

  8. #6
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Merci
    Pour déterminer P(x), je pars dans cette direction:
    P(0)=0 => d=0
    P(x)=ax^3+bx²+cx
    P(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)
    (Je développe et j'ordonne et je trouve)
    P(x+1)=ax^3+3ax²+bx²+3ax+2bx+c x+a+b+c
    Ensuite:
    P(x+1)-P(x)=3ax²+3ax+2bx+a+b+c=x²

    Et là, je suis bloqué... Que faire?

  9. Publicité
  10. #7
    -Zweig-

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Ensuite tu dois faire une identification de polynôme.

    P(x + 1) - P(x) = x² <=> 3ax² + x(3a + 2b) + (a + b + c) = x²

    Ainsi tu as à résoudre ce système :

    3a = 1
    3a + 2b = 0
    a + b + c = 0

    Et tu devrais trouver si je n'ai pas fait d'erreur a = 1/3, b = -1/2 et c = 1/6

    Et donc P(x) = 1/3x^3 - 1/2x² + 1/6x

  11. #8
    indian58

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Ensuite tu dois faire une identification de polynôme.

    P(x + 1) - P(x) = x² <=> 3ax² + x(3a + 2b) + (a + b + c) = x²

    Ainsi tu as à résoudre ce système :

    3a = 1
    3a + 2b = 0
    a + b + c = 0

    Et tu devrais trouver si je n'ai pas fait d'erreur a = 1/3, b = -1/2 et c = 1/6

    Et donc P(x) = 1/3x^3 - 1/2x² + 1/6x
    Sinon, on peut directement conclure en sortant l'interpolateur de Lagrange.

  12. #9
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Merci beaucoup
    Je trouve c= -1/6 sinon le reste je suis ok.

  13. #10
    demone

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Je bloque sur la suite...

    Je dois écrire les égalités P(x+1)-P(x)=x² pour:
    x = 1 ; x = 2 ...... ; x = n-1 ; x = n
    Et en déduire que


    Je commence:
    P(x+1)-P(x)=x²
    P(2)=1
    P(3)=5
    ...
    P(n)= ?
    P(n+1)= ?

    Comme vous le voyez, je pense avoir compris ce qu'il faut faire mais je n'y arrive plus à partir de x = n-1 ; x = n.

  14. #11
    indian58

    Re : Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²

    Ben, tu somme toutes tes égalités entre k=1 et k=n.

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