Polynôme de 3eme degré, P(0)=0 et P(x+1)-P(x)=x²
Salut à tous,
J'ai un polynôme du troisième degré et on me dit que P(0)=0 et que P(x+1)-P(x)=x²
Je dois montrer que P(1)=0, calculer P(3) puis déterminer P(x).
J'en conclue que P(x) polynôme du troisième degré signifie qu'il existe des réels a, b, c, d tels que pour tout réel x : P(x)=ax^3+bx²+cx+d et comme P(0)=0, d=0.
Cependant, je ne vois pas comment faire la suite pour montrer que P(1)=0...
1 c'est jamais que 0+1
Ouai! j'ai trouvémerci
pour tout x on a P(x+1) - P(x) = x²
Pour x = 0 on obtient:
P(0+1)-P(0)=0²
P(1)-P(0)=0
P(1)-0=0 car P(0)=0
P(1)=0
J'ai procédé de la même manière pour montrer que P(2)=1.
Pour calculer P(3) j'ai fais ça:
On prend x = 2
P(2+1)-P(2)=2²
P(3)-1=4
P(3)=5
Je pense que c'est bon mais j'aimerais confirmation
C'est bon. Y a pas de problème!
Merci
Pour déterminer P(x), je pars dans cette direction:
P(0)=0 => d=0
P(x)=ax^3+bx²+cx
P(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)
(Je développe et j'ordonne et je trouve)
P(x+1)=ax^3+3ax²+bx²+3ax+2bx+c x+a+b+c
Ensuite:
P(x+1)-P(x)=3ax²+3ax+2bx+a+b+c=x²
Et là, je suis bloqué... Que faire?
Ensuite tu dois faire une identification de polynôme.
P(x + 1) - P(x) = x² <=> 3ax² + x(3a + 2b) + (a + b + c) = x²
Ainsi tu as à résoudre ce système :
3a = 1
3a + 2b = 0
a + b + c = 0
Et tu devrais trouver si je n'ai pas fait d'erreur a = 1/3, b = -1/2 et c = 1/6
Et donc P(x) = 1/3x^3 - 1/2x² + 1/6x
Sinon, on peut directement conclure en sortant l'interpolateur de Lagrange.Envoyé par -Zweig-
Merci beaucoup
Je trouve c= -1/6 sinon le reste je suis ok.
Je bloque sur la suite...
Je dois écrire les égalités P(x+1)-P(x)=x² pour:
x = 1 ; x = 2 ...... ; x = n-1 ; x = n
Et en déduire que
Je commence:
P(x+1)-P(x)=x²
P(2)=1
P(3)=5
...
P(n)= ?
P(n+1)= ?
Comme vous le voyez, je pense avoir compris ce qu'il faut faire mais je n'y arrive plus à partir de x = n-1 ; x = n.
Ben, tu somme toutes tes égalités entre k=1 et k=n.
