Diviser un polynôme par sa dérivée

[invite39dcaf7a]

Bonjour à tous !

J'aimerais savoir quels sont les polynomes divisibles par leur dérivée et comment les trouver ?

Merci d'avance
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[inviteab2b41c6]

Essaie de trouver une relation simple liant un polynôme et sa dérivée dans ce cas là et ca roule tout seul après

Si P'|P, alors il existe Q tel que
P=QP'

Ensuite essaie de trouver deg(Q) par des considérations simples....

A partir de là c'est pas très compliqué, mais je te conseille de faire un petit tour vers l'analyse fonctionnelle

[inviteab2b41c6]

Ps: Prend P tel que deg(p)>1 sinon ca n'a pas d'interet.

[inviteab2b41c6]

Alors? ca avance?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

Bon tu peux montrer le résultat si l'ordre de multiplicité d'une des racine est superieur à 1 déjà...

[invite30ef30b6]

Ben ils sont tous de la forme (x+a)^n * D(x) n>=1 et D dont tous les facteurs irreductibles sont de degré 2 donc les coeffs correspondent aux lignes du triangle de pascal a poids pres si le poly se decompose entierement en degrés1 sur R

Qui vient soutenir BS et quinto

[inviteab2b41c6]

BS était dans le coin?

[inviteab2b41c6]

Ben ils sont tous de la forme (x+a)^n * D(x) n>=1

Et comment tu les trouves?

(c'était la question de départ)

[invite30ef30b6]

Non mais j'ai ete trop rigoureux envers moi meme en fait et j'ai mis une condition superflue.

D(x)=1 ca ne change rien a la condition necessaire et suffisante,tout poly (x+a)^n n>=1 est divisible par sa derivée et ce sont les seuls(sur C et par consequent sur R en vertu de l'unicité de la decomposition).

Pour les trouver comme tu dis ,triangle de pascal(avec un poids complexe sur ses coefficients,mais on a vu pis ) !

[inviteab2b41c6]

Bah ce ne sont pas les seuls, multiplie déjà par une constante et tu verras...

Ensuite on te demandais de trouver une méthode, pas de balancer le résultat.

A noter que (ax+b)^n marche aussi, donc t'es loin du compte mon ptit bonhôme...

[invite39dcaf7a]

J'ai un peu de mal à comprendre...

[inviteab2b41c6]

Les polynômes qui sont divisibles par leur dérivés sont ceux qui admettent une racine unique dont l'ordre de multiplicité est supérieur à 1, en fait ceux du type
K*(ax+b)^n avec K un réel et n>1

[inviteab2b41c6]

Oups, et j'ai oublié de compléter:
Tu peux le prouver facilement par une équa diff.

Sinon tu peux aussi montrer facilement celà par des considérations algébriques simples:

P'|P est équivalent à dire qu'il existe un polynôme Q de degré 1 tel que

P=QP'

soit n=deg(P)

ensuite tu peux te débrouiller pour dire que si P s'annule en une certaine valeur, alors le produit QP s'annule en cette même valeur.
Et puis tu brodes un peu et tu arrives au résultat...

Je te laisse regarder celà par toi même

[invite39dcaf7a]

Merci à vous tous de vos réponses , même si je n'ai pas tout compris ! (Je suis en 1°S, alors les trucs comme les équations différentielles, j'ai pas encore vu !)

[inviteab2b41c6]

C'est pour celà que je t'ai proposé la 2e solution
Elle est totalement algébrique et peut etre un peu moins passe partout.

Essaie de continuer ce que j'ai commencé...

[invite39dcaf7a]

OK, je vais essayer. Merci Quinto .

[invite30ef30b6]

Bah ce ne sont pas les seuls, multiplie déjà par une constante et tu verras...

Ensuite on te demandais de trouver une méthode, pas de balancer le résultat.

A noter que (ax+b)^n marche aussi, donc t'es loin du compte mon ptit bonhôme...

Arf oui mais a multiple par une constante ce sont bien les seuls

[invite59dfa2df]

excusez moi g juste une petite question : ça veut dire quoi quand vous écrivez: deg(P)?????

[invite88ef51f0]

C'est le degré du polynome P... Ex: deg(x²+3x+27)=2

[invite59dfa2df]

aaaaaaaaahhhhhhhhhhhhhhhh!!!!! !!!!!!!!!!!!
dacord ....
Merci
kekekeke
Avril