"Fonction définie" et interdiction de diviser par 0

[Vladzol]

bonjour à tous, j'aurais deux questions à vous poser:

-Comment écrit on en langage mathématique qu'une fonction est définie en un point?

-Savez Vous quelle est l'origine et la signification de l'interdiction de diviser un nombre par 0 ?
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[invite3d7be5ae]

f(x) x appartient (la sorte de e)ton point.
f(x) xe 3 (par exemple)
(Je ne connais pas le latex)

[invite9c9b9968]

-Savez Vous quelle est l'origine et la signification de l'interdiction de diviser un nombre par 0 ?

La signification ? Tout simplement parce que cela n'a aucun sens

Un exemple : tu sais que si a* x = b* x alors a=b (si x est non nul). En fait, tu as fait ici sans le dire une division par x.

Maintenant, que se passe-t'il si x=0 ? Par exemple on a 7*0 = 8*0

Si je divise par zéro, il faut le faire de part et d'autre de l'égalité, donc j'obtiens l'absurdité suivante : 7=8

VOilà pourquoi la division par zéro est "interdite".

[invitea77054e9]

-Comment écrit on en langage mathématique qu'une fonction est définie en un point?

-Soit D le domaine de définition d'une fonction f d'un ensemble E vers un ensemble F. D est donc un sous-ensemble de E, et pour exprimer que f est définie en x, élément de E, on dit que x appartient à D.
Plus précisemment, on appelle ensemble de définition d'une fonction l'ensemble des éléments x de E tel qu’il existe un élément y dans F vérifiant f(x)=y.
On peut aussi voir f comme une correspondance fonctionnelle, c'est-à-dire la donnée d'un triplet (E,F,G), où G est un sous-ensemble du produit cartésien ExF. On dit que G est le graphe de f. Et on dit alors que l'ensemble de définition de f est l'ensemble des x de E tel qu'il existe y dans F tel que (x,y) appartienne à G.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea77054e9]

-Savez Vous quelle est l'origine et la signification de l'interdiction de diviser un nombre par 0 ?

Pour bien comprendre le problème, il faut voir l'ensemble voir l'ensemble des nombres réels lR, muni des lois additionner + et multiplier *, comme une structure algébrique stable, que l'on nomme communément Anneau.
Quelle signification donner à la division? Est-ce une autre loi, comme + et *?

L'acte de division est intuitif, mais en fait il ne représente pas une opération en lui-même. Diviser c'est multiplier. Ainsi, l'opération qui divise 4 par 2, notée 4/2, signifie qu'on multiplie 4 par l'inverse de 2, noté 1/2, pour la loi multiplier *.
Or, diviser par 0 reviendrait donc à considérer son inverse, et leur produit serait égal à 1 !!
Ce serait très embétant, surtout si l'on veut garder la structure d'Anneau de (lR,+,*).
En effet, 0 est absorbant pour la loi *, à savoir que pour tout nombre réel x, on à 0*x=0. On pourrait effectivement prétendre à se passer de cette propriété, mais alors on aurait de sérieux problèmes concernant la distributivité et la transivité de * par rapport à +.

[invitef591ed4b]

Oui et simplement : a/b=c signifie que cb=a. Or si b=0, alors c est tel que cb=c0=a, ce qui est impossible car quel que soit c, c0=0 !

Il n'existe pas de tel c, c'est-à-dire que diviser par zéro ne donne aucun résultat acceptable. Une indétermination, ça s'appelle