Démonstration d'équivalent, fonction définie par une série.

[invite7553e94d]

Bonjour à tous.

J'ai un peu de mal à démontrer une équivalence en zéro de deux fonctions, dont l'une est définie par une série.

Enoncé :
On définie la fonction comme suit :


Après avoir vérifié l'existance de , démontrez que .

Tentative de démonstration :
Vous conviendrez que le raisonnement qui suit est érronné :


Si vous confirmez, pouvez-vous me donner un petit indice pour pouvoir démontrer cette équivalence (sans trop me mâcher le boulot) ? Je vous remercie de votre aide.
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[inviteae1ed006]

Bonjour,
je ne suis pas un très grand spécialiste mais il me semble bien que si , on a pas forcément .
Par contre ta fonction est bien définie sur et un théorème de dérivation te permettra sans doute de montrer que la dérivée de f est égale à la série des dérivées...de là un coup de Taylor devrait te permettre de conclure...non ?

[invite7553e94d]

Merci de ton aide.

Bonjour,
je ne suis pas un très grand spécialiste mais il me semble bien que si , on a pas forcément .

C'est bien ce que je pensais

Par contre ta fonction est bien définie sur et un théorème de dérivation te permettra sans doute de montrer que la dérivée de f est égale à la série des dérivées...de là un coup de Taylor devrait te permettre de conclure...non ?

Pour l'existance de je m'étais contenté de vérifier le CSSA. Taylor c'est pour vérifier que la somme converge ? Où bien pour la limite en zéro ?

Encore merci.

[inviteae1ed006]

CSSA

???

1) f converge simplement sur [0;1]
2) la série des dérivées converge uniformément sur [0;1]
3) Conclusion la dérivée de la série de fonction est égale à la série des dérivées sur [0;1].
4) Taylor : f(x) = f(0) +f '(0).x + o(x)

Je ne te cache pas que f(0)=0 et f '(0) = ln(2)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f53d719]

Bonjour,
je ne suis pas un très grand spécialiste mais il me semble bien que si , on a pas forcément .

Oui, ce résultat est vrai seulement si bn est à termes positif! Ce qui n'est pas le cas ici...

[invite7553e94d]

Merci bien, en effet ça fonctionne bien. Mais sur quel(s) théorème(s) je me base pour al conclusion au 3) ?

CSSA : Critère Spécial des Séries Alternées.

[inviteae1ed006]

Oui, ce résultat est vrai seulement si bn est à termes positif! Ce qui n'est pas le cas ici...

positif et si la série diverge ! sinon, si la série converge alors ce sont les restes qui sont équivalents...

CSSA : Critère Spécial des Séries Alternées.

Merci

Mais sur quel(s) théorème(s) je me base pour al conclusion au 3) ?

c'est un théorème de dérivation des séries de fonctions, tu l'as vu ?

[invite7553e94d]

c'est un théorème de dérivation des séries de fonctions, tu l'as vu ?

Erf non ... Ou alors il est tombé quand j'ai séché (je suis pas un élève sérieux). Tu as une démo sous la main, ou une idée de comment le démontrer (ça me fera un peu d'exo) ?

Encore et toujours merci.

[inviteae1ed006]

Une idée de démo ici : http://www.les-mathematiques.net/a/a/f/node8.php3

[invite7553e94d]

J'avoue à avoir bien du mal à trouver le théorème d'une part, et à en comprendre l'idée de démo d'autre part (celle qui est laborieuse c'est bien ça ?).

[invited5b2473a]

Bonjour,

tu fais la diférrence entre tes deux sommes et tu divise par x. Ton but est alros de démontrer que cette quantité tend vers 0 quand x tend vers 0. Pour cela, tu passes aux valeurs absolues, puis tu utilises T-L : |ln(1+y)-y| <= y³/3 pour y >0 (car 0<=ln(1+y)-y=-y²/2+y³/3-e⁴/4 <= y³/3 avec 0<e<y) Ensuite tu sors l'x de la somme et tu fais tendre x vers 0. CQFD
Grosso modo, la méthode, pour montrer que ta somme S(x) est équivalente à xln2 quand x tend vers 0, c'est de montrer que la différence est un o(x) pour x voisin de 0, i.e. le rapport esntre cette différence et x tend vers 0. ensuite, tu regroupe tous tes termes sous un même signe somme et tu utilise T-L pour majorer les termes de la sommes. Comme celà, tu peux extraire les x de la somme et donc en faisant tendre x vers 0, tu auras le résultat voulu.

[invite7553e94d]

J'ai réussi !!! Enfin je crois. Quelqu'un pour confirmer ?

Tentative de démonstration :

1. On cherche à démontrer que
   
   • Convèrgence simple de .
     Soit une suite de fonction, avec
     
     convèrge simplement vers dans .
     
     
     
   • Convèrgence uniforme de .
     Pour tout de , est dérivable dans en
     convèrge simplement vers dans .
     .
     Donc, convèrge uniformément vers sur .
     
     
     
   • Expression de la dérivée de d'après les dérivées des .
     D'après la propriété que l'on montrera au 2.,
     
     pour ;
     
     
     
     
   • Démonstration.
     On applique un développement de limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 :
     
     
   
   
   
   
   
   
   
   
2. On cherche à démontrer la propriété utilisée ci-dessus, à savoir
   
   • Convèrgence simple de .
     Soit une suite de fonction, avec
     
     convèrge simplement vers dans .
     
     
     
     
   • Convèrgence uniforme de .
     La suite est strictement décroissante pour ; soit la suite de fonction telle que . Ainsi, pour ,
     ,
     suite qui convèrge vers 0.
     convèrge uniformément vers sur
     convèrge uniformément vers sur
     
     
     
     
   • Démonstration.
     Le nombre est, s'il existe, la limite suivante :
     
     
     C.Q.F.D.

Je m'excuse de ne pas pouvoir me relire. Il est fort possible que des erreurs de frappe se cachent dans ma démo.
Merci de m'avoir lu jusqu'ici.

[invite7553e94d]

petit up (lisez juste els grandes lignes si vous manquez de temps )