[TS]Demonstration par recurrence une fonction dérivée

[invite471bc9fd]

Voila la demonstration ou je me sens completement dépassé:
On suppose f^n(x)=(-1)^n*(n!)/(x+1)^(n+1)

Demontrer que f^n+1(x)=(-1)^n+1*(n+1)!/(x+1)^n+1

Si je pouvais avoir quelques pistes...
Merci davance!
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[invitec053041c]

Bonjour.

Si l'expression de fn que tu nous donnes correspond à sa définition, alors cela est direct pour (n+1) (uffit de remplacer n par n+1)

Si cela ne correspond pas à une définition de fn, alors il nous manque des éléments pour t'aider (du type relation de récurrence etc...).

[invite471bc9fd]

oui désolé javais oublié que on prend f(x)=1/(x+1)

[invite471bc9fd]

Et ce que jai écrit plus haut correspond a la phase dhérédité, linitalisation je lai déja faite

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite471bc9fd]

Personne ne peut maider?

[invite7ffe9b6a]

bon ben tu initialise au rang 0. En gros tu vérifie qu'en remplaçant n par 0 tu trouve bien la 0eme dérivivé autrement dit la fonction 1/(1+x).

Ensuite tu suppose le résultat vrai au rang n et tu calcules la n+1 ème dérivé à partir de la formule que tu as au rang n et tu doit trouver la même formul qu'au rang n mais en remplaçant n par n+1.

[invite7ffe9b6a]

Comme (-1)^n et n! sont des constantes pour ta dérivation ton probleme revient à dériver 1/(1+x)^(n+1).

Je rappele au passage la formule de dérivation de 1/u avec u une fonction.

(1/u)'=(-u'/u²)

[invite471bc9fd]

En gros faut dériver f^n(x), et on doit retrouver f^(n+1).
Ok mais comment on fait pour dériver n! ????
EDIT:Ok c'est une constante donc c'est égale a 0

[invite7ffe9b6a]

non ta dérivation a lieu par rapport a x. Le n est constant pour ta dérivation. Quand tu voudra la dérivée 4ème tu remplacera n par 4 et tu obtiendra 24/(1+x)^5 et tu vois bien que si tu veux la dérivé 5ème sans la formule tu va redériver 24/(1+x)^5.
24 est un coéfficient multiplicatif constant tu t'en occupe pas pour ta dérivation ben le n! factorielle c 'est pareil c'est une constante qui dépend du nombre de fois que tu va dériver mais lorsque que as ta formule au rang n ,le n tu l'as fixé il bouge plus

[invite7ffe9b6a]

En gros faut dériver f^n(x), et on doit retrouver f^(n+1).
Ok mais comment on fait pour dériver n! ????
EDIT:Ok c'est une constante donc c'est égale a 0

non c'est pas égale à 0 c'est en facteur tu le laisse en facteur devant en gros ta dérivé cela va être (-1)^n * n! * [1/(1+x)^(n+1)]'
Quant tu dérives 3*x tu fais 3*(x)'=3*1=3. [a*f(x) ]'=a*[f(x)]'