calcul un peu lourd en complexe...

[invitebf65f07b]

Bonjour,

Je fais appelle aux bonnes âmes qui ont de bonnes idées pour les calculs un peu costauds (si vous trouvez ça facile, ça me va aussi ).

Donc mon soucis est le suivant :
J'ai x=1 + a²/(wo²-w²+i.b.w) avec a, b, wo et w réels, w étant ma variable, de plus wo et b varient avec w (mais pas trop...).
A partir de là, ce que je cherche c'est savoir (analytiquement) pour quel w Q=(x-1)/(x+1) est imaginaire pur.

Numériquement, je tombe sur w proche de wo mais supérieur et les quelques approches analytiques que j'ai tentées se contentent de noircir ma feuille de manière exponentielle...

Si vous avez une idée ou même si vous pensez qu'un logiciel comme mapple peut m'aider (je voudrais l'installer pour rien...), faites moi signe.
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[invite241f5934]

Bah résoudre ce calcul n'est pas très compliqué. Suffit de calculer !

En remplacant x dans l'expression de Q, on a :
Q = a² / (2(wo² - w² + ibw) + a²)
= a² / R + 2ibw avec R = 2wo² - 2w² + a²
Tu multiplies par le complexe conjugué pour faire passer i au numérateur. On a alors :
Q = a²(R-2ibw)/(R²+4b²w²)
On veut Q imaginaire pur ce qui implique a²R = 0
d'ou w² = wo² + a²/2
Donc oui pour w positif on a w>wo.

[invitebf65f07b]

arf! merci Frifron, mais j'ai mal noté un truc, dsl.

en fait x est au carré dans la 1ère égalité, on a donc :
x² = 1 + a²/(wo²-w²+i.b.w)
et Q=(x-1)/(x+1).

et je cherche toujours w pour avoir Q imaginaire pur.

je suis bien d'accord avec ce que tu as écrit et mes difficultés viennent justement de ce carré que j'ai oublié de noter...

merci d'avance

[invite241f5934]

ah oui en effet c'est un peu plus cho. Je me disais aussi que c'était bizarre, je trouvais ca trop facile

Bon alors moi a vu de nez je ferai comme çà.
tu pars de x²-1 = a²/(wo²-w²+ibw) comme çà tu te débarasse des i du denomitateur rapidement avec Q = (x-1)²/(x²-1)
Pour le double produit du carré de x-1 en mettant i en facteur dans la racine, tu peut le sortir avec sqrt(i)=(1+i)(sqrt(2)/2). Tu determine ta partie réelle et t'essaie de résoudre çà.
Ca devrait etre faisable nan ? Enfin je crois.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf65f07b]

... rapidement avec Q = (x-1)²/(x²-1)

je vois pas comment t'arrives là (on a Q=(x-1)/(x+1)...), mais l'idée d'arriver à (x²-1) au dénominateur est pas mal. Par exemple est cherchant 1/Q imaginaire pur!

bon, je regarde ce que ça donne...

[invitebf65f07b]

lol, oublie ma remarque, j'ai compris...

je creuse la suite...

[invite241f5934]

oublie le coup de la racine, j'ai dit des connerie . Les racines dans C c'est galère mais doit viens y avoir moyen de s'en débarrasser.

[invitebf65f07b]

bon ça marche toujours pas pour moi

par contre, numériquement on voit que Q imaginaire pur correspond à |x|=1, alors si quelqu'un trouve ça plus facile...

PS:je rappelle qu'une solution approchée (mais correcte bien sûr) me convient parfaitement.

merci

[invitebf65f07b]

bon |x²|=1 est une bonne voie, j'aboutis à un polynôme de degré 3 en y=w²/wo².

je tiens enfin quelque chose...

[invitebf65f07b]

Pour être honnête avec vous, je cherchais pas vraiment Q imaginaire pur au départ, mais plutôt w tel que |Q| soit maximum. Mais comme une solution approchée me convient et que pour a "pas trop grand" le max de |Q| correspond avec Q imaginaire pur, j'ai commencé par là...

Maintenant que je m'en sors pour a petit (cf post précédent), je me lance pour a quelconque, et je suis bien obligé de revenir à mon problème initial (trouver le max de |Q|).

Je refais donc appelle à vous parce que ça m'a l'air encore plus ardu comme bazar...

merci d'avance

[invitebfbf094d]

J' ai trouvé mais sans etre certain : je n'ai pas réussi a trouver ce que valait Q avec ca ^^ .

[invitebfbf094d]

Désolé, je maitrise pas encore latex. la réponse est w=+-(a/2 + wo²)^1/2; mais je répete je n'ai pas verifié si cetait bon.

[invite8241b23e]

Désolé, je maitrise pas encore latex. la réponse est w=+-(a/2 + wo²)^1/2; mais je répete je n'ai pas verifié si cetait bon.

Salut zapple !

En latex :

w = +-(\frac{a}{2} + wo^2)^{\frac{1}{2}}



w = +-\sqr{\frac{a}{2} + wo^2}



Je ne sais pas faire le + ou -, j'avoue ...

[invitebf65f07b]

Désolé, je maitrise pas encore latex. la réponse est w=+-(a/2 + wo²)^1/2; mais je répete je n'ai pas verifié si cetait bon.

salut zapple,

tu trouves ça pour quel problème exactement? (max de |Q|, Q imaginaire pur ou |x|=1 ? ) je reconnais que je me disperse un peu, alors y faut bien préciser...

en tout cas celle qui est écrite là n'est pas homogène (faute de frappe?), mais ressemble étrangement à ce que j'obtiens comme racine maximum du polynome de degré 3 issu de "|x|=1". Mais le truc, c'est que pour en arriver là, j'ai dû négliger les termes en "b" dans les facteurs du polynome.

voilà quand même ce que j'ai trouvé : w²=wo²+a²/2 qui est donc solution approchée de |x|=1

en tout cas, merci de t'être penché un peu sur la question.

[invitebf65f07b]

pendant que j'y pense, est-ce que quelqu'un saurait me dire si mapple (ou assimilé) pourrait m'être utile pour produire une réponse plus exact, même si approchée. Je pense en particulier à la possibilité de faire un développement limité en considérant a petit...

merci d'avance pour les réponses.

[invitebfbf094d]

salut zapple,

tu trouves ça pour quel problème exactement? (max de |Q|, Q imaginaire pur ou |x|=1 ? ) je reconnais que je me disperse un peu, alors y faut bien préciser...

en tout cas celle qui est écrite là n'est pas homogène (faute de frappe?), mais ressemble étrangement à ce que j'obtiens comme racine maximum du polynome de degré 3 issu de "|x|=1". Mais le truc, c'est que pour en arriver là, j'ai dû négliger les termes en "b" dans les facteurs du polynome.

voilà quand même ce que j'ai trouvé : w²=wo²+a²/2 qui est donc solution approchée de |x|=1

en tout cas, merci de t'être penché un peu sur la question.

Je me suis trompé en donnant ma réponse. Pour Q imaginaire pur, je trouve aussi w²=wo²+a²/2. Je pense que ma réponse n'est pas bonne.
Juste une remarque, la forme de x²=1+a²/(wo²-w²+ibw) ressemble a une forme caractéristique qu'on rencontre dans tous processus de résonnance, où la courbe représentative serait en cloche. Mais la présence du 1 rend ici le calcul très ardu.

J'essaie toujours de voir ce que je peux trouver.

[invitebf65f07b]

pour te répondre au sujet de ta remarque sur la résonnance, il s'agit bien d'un terme de résonnance. plus précisément, il s'agit d'équations décrivant le comportement effectif d'un nuage de bulle dans un liquide traversé par une onde ultrasonore, chaque bulle se comportant comme un oscillateur.
Le terme |Q| correspond au coefficient de réflexion d'un nuage semi-infini et x est le rapport entre le nombre d'onde effectif (complexe) et le nombre d'onde du liquide.

[invitebf65f07b]

bon alors j'ai encore une autre approche, celle-ci est sans doute la plus rigoureuse.

je m'intéresse à l'évolution de |Q|=|x-1|/|x+1| avec x²=1+y (y complexe) pour |y|<<1. à force de moult développements limités, j'arrive à |Q|=|y|/4 au premier ordre, ce qui m'a l'air juste.

Si quelqu'un est inspiré pour m'aider à gagner un ordre dans l'approximation (c'est toujours là où ça devient plus délicat...). Ou bien (je sais, je radote) si quelqu'un peut me dire si mapple est capable de m'aider...

quoi qu'il en soit, |Q|=|y|/4 me donne que |Q| est maximum pour |y| maximum, ce qui donne finalement w²=wo²-b²/2.
je n'ai pas pu encore comparer cela avec la simulation mais déjà ça ressemble pas exactement à se qu'on a déjà trouvé...

[invitebfbf094d]

J'ai posé et .

Prenant le module de Q=(x-1)/(x+1), on a . Le module d'un nombre complexe Z étant égale a , appliqué a Q, j'obtiens :

.

On remarque que le numérateur et dénominateur sous la racine sont des polynomes du second degré en Xm qu'on peut résoudre en cherchant le discriminant, ce qui nous donnera les valeurs de Xm pour lesquelles Qm s'annule. Je n'ai pas encore cherché . Je sais pas ce que ca donnera, mais ca peut etre une piste a suivre.

[invitebf65f07b]

c'est pas mal merci

mais pour l'annulation de |Q|, c'est pas trop dur : c'est le cas en x=1 (w=+oo) et c'est tout.

j'ai aussi avancé, il faut que je mette ça au propre.

[invitebfbf094d]

La dérivée de suivant Xm devrait donner les extremums (aussi bien minimal que maximal, et tu cherchais un Qm maximal). J'ai essayé mais c'est assez dur.

Je soupconne qu'il manque quelque chose au probleme, ou que le probleme contient une erreur dans une des formules

[invitebfbf094d]

peut-etre ? Je peux pas justifier

[invitebf65f07b]

Je soupconne qu'il manque quelque chose au probleme, ou que le probleme contient une erreur dans une des formules

non non, à moins d'une coquille qui m'est échappée...

"w²=wo²-b²/2" peut-etre ? Je peux pas justifier

ça correspond à y=x-1 maximum en module, or pour |y| petit, je trouve que |Q|=|y|/4. Donc oui, c'est juste dans la limite de |y| petit (et ça c'est déjà pas mal )

PS : je prépare des zolis dessins qui permettront de mieux voir ce qu'il se passe...

[invitebf65f07b]

remarquons quand même que "w²=wo²-b²/2" impose b²/wo²<2, ce qui pourrait être un soucis... en fait non car pour b²/wo²>2, |y| admet aussi un maximum mais en w=0...

[invitebf65f07b]

alors comme promis, voilà les figures...

Pour rappel, on a Q=(x-1)/(x+1), x²=1+y et y=a²/(wo²-w²+i*b*w)
Dans un premier temps, on peut s'intéresser à |Q|(y) qui associe donc |Q| à y complexe. c'est ce qu'on peut voir sur la première figure, on remarquera que |Q| est compris entre 0 et 1, ce qui se retrouve facilement en considérant simplement Re(x)>0 (solution physique). De plus |Q|=0 pour y=0 et |Q|=1 pour y réel inférieur à -1 (jamais le cas physiquement).
Un développement limité au premier ordre en |y| donne que autour de |y|=0, |Q|=|y|/4, ce qui physiquement doit correspondre à mon problème (je verrais ça demain...).

Maintenant, il faut regarder y(w). tout d'abord, j'ai normalisé tout ça en écrivant : y=A²/(1-u²+i*B*u) avec A²=a²/wo², B=b/wo et u =w/wo.
On voit que le facteur A² a juste un effet de dilatation dans le plan complexe, la forme de y(u) est donné par B. La seconde figure montre donc (pour A=1, mais il suffit de dilaté la courbe pour avoir la cas A quelconque) l'évolution de y(u) avec B. y "tourne" dans le sens trigonométrique quand u augmente.
On peut voir (et montrer) qu'il y a 2 régime qui s'articulent autour de B=1. Pour B grand, la courbe converge vers un demi-cercle de diamètre [0 1]. Pour B petit, la courbe tent vers un cercle passant par 0 et dont l'axe imaginaire est un diamètre, cependant le diamètre du cercle n'est pas fixe : il vaut A²/B. plus B diminue, plus le cercle grandit.

Comme on l'a déja dit |y| est maximum (exactement) pour u²=1-B²/2 (u=0 pour B²>2), ce qui est donc le max de |Q| pour |y| petit. Enfin, dans ce cas, la valeur que prend |Q|max est A²/(4B) pour B petit et A²/4 pour B grand.

voilà, vu la courbe |Q|(y), je suis pas sûr qu'on puisse atteindre une solution exacte en tout point, par contre un DL à un ordre supérieur en |y| pourrait bien m'intéresser...

PS : les plus observateurs remarqueront que dans la 2ème figure Im(y)>0 alors qu'il devrait être négatif, ça ne change rien vu la fome de |Q|(y) et en plus c'est plus joli , bon évidemment j'ai une autre raison, mais c'est pas important pour nous...

[invitebfbf094d]

Comment , qui est complexe, peut etre nul, a moins que a=o ?

[invitebfbf094d]

J'aimerai savoir ce qu'est Q, à part qu'il vaut (x-1)/(x+1), et son utilité ici ?

[invitebfbf094d]

Q serait le coefficient de réflexion ? Désolé pour le flood, mais les idées venant apres que je ne puisse plus éditer

[invitebf65f07b]

Comment y=... , qui est complexe, peut etre nul, a moins que a=o ?

J'aimerai savoir ce qu'est Q, à part qu'il vaut (x-1)/(x+1), et son utilité ici ?

Q serait le coefficient de réflexion ?

ok, je suis désolé si j'ai pas été clair

1) effectivement, y n'est nul que pour a=0, mais il tent vers zéro pour w tendant vers l'infini, donc y=0 a ici un sens assymptotique...

2) je croyais l'avoir dit

il s'agit d'équations décrivant le comportement effectif d'un nuage de bulle dans un liquide traversé par une onde ultrasonore, chaque bulle se comportant comme un oscillateur.
Le terme |Q| correspond au coefficient de réflexion d'un nuage semi-infini et x est le rapport entre le nombre d'onde effectif (complexe) et le nombre d'onde du liquide.

pour préciser encore, ma position est la suivante : face à ce fameux nuage de bulle, j'aimerais être capable de déterminer ses caractéristiques (distribution de la taille des bulles, fraction volumique de gaz). pour cela, je peux lui envoyer une onde ultrasonore dessus et écouter ce qui est réfléchi. les équations ici découlent de modèles sur la dynamique d'une bulle et sur le comportement d'un nuage de diffuseurs, elles donnent effectivement le coefficient de réflexion en fonction d'un certain nombre de paramètres qui sont regroupés dans les termes "a", "b" et "wo", "w" est la pulsation de l'onde incidente.
mon problème c'est d'obtenir des relations exploitables entre des valeurs remarquables de la réflexion et les paramètres du nuages. Par exemple la pulsation où la réflexion (=|Q|) est maximale, la valeur de la réflexion en ce maximum, mais aussi sa valeur en "basse fréquence", en fait tout est possible tant que, à partir de mesures de réflexion, j'arrive à remonter aux paramètres des équations...

j'espère que c'est mieux comme ça pour le contexte.
maintenant, est-ce que tu saisis mes jolis dessins?

[invitebf65f07b]

bon apparement mes déboires n'émeuvent personne, et je ne peux guère m'en étonner...
mais puisque je suis têtu, je conclue.

j'ai enfin abouti à quelque chose de satisfaisant en ayant une vision plus globale (voir figure). Sur cette figure, on voit quelle est la valeur de |Q| pour y complexe quelconque (variant de 0->bleu à 1->rouge) et aussi comment varie avec u.
Les cercles décrivent donc y(u) (ici B<<1), le "sommet" du cercle coïncide avec u=1, si le cercle est petit (A²/B<<1) alors il est dans la cuvette (en bleu) et on approxime par |Q|=|y|/4, le question du maximum est alors simple...
Evidement (se serait pas marrant) mon problème physique m'oblige à considérer les "grand cercles" qui sortent de la cuvette. On voit sur la figure qu'alors le maximum de |Q| en suivant un cercle est décalé dans le sens de rotation trigonométrique. ceci correspond à u>1, toute la question est de déterminer plus précisément ce u...
A ce point, il ne me restait plus grand chose d'autre à faire que de chercher la courbe de niveau de |Q|(y) qui serait tangente à y(u) et le point de tangence... je vous épargne les calculs , et les tentatives contredites par des approximations invalides physiquement. Le résultat que j'obtiens est , il marche vraiment bien pour mon problème physique (moins de 5% d'erreur!). On se réjouira aussi de constater que le qu'on devinait auparavant en est en fait un développement au 1er ordre : on était pas à côté de la plaque, juste un peu myope...

Voilà, merci tout le monde.

Et pour ceux qui auront pris la peine d'arriver jusque là, profiter de la "zoli n'image", matlab peut parfois être un grand artiste...