Calcul lourd d'une primitive

[invitea87a1dd7]

Bonjour tout le monde,
Bon, dans un problème on se propose de décomposer en série de fourier la fonction suivante :


Bon tout se passe bien (calcul des ) et j'arrive bien au résultat (par Parseval) :
...
Mais j'ai été obligé d'admettre le calcul du
Je sais qu'il faut montrer qu'il est égal à 1.
J'ai déja calculé sa partie imaginaire, elle est bien nulle (par imparité). Il me reste sa partie réelle, et là on est amené à calculer cette intégrale :
ce qui paraît quasiment impossible à calculer...

Comment faire ?

Merci pour votre aide !
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[ericcc]

Essaye par une intégration par partie en faisant apparaitre un terme en sin(t) pour pouvoir intégrer l'exponentielle ????

[invitea87a1dd7]

Oui j'ai déja essayé, l'ennui c'est qu'on ne sait rien intégrer..

[invitea87a1dd7]

Peut être fallait-il rester en complexe (notation exponentielle) dés le début et faire un changement de variable ? Je cherche dans cette direction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Je propose une petite piste :

on écrit e^cos(t) sous forme d'une série (somme des cos(t)^k/k!),

tu permuttes série et intégrale ('faudra justifier après),

puis soit une intégration par partie, ça me semble pas mal, mais des calculs peut-être compliqués (sûrement même), ou un changement de variable (mais j'ai pas trouvé...)



Romain

[invitea87a1dd7]

Lorsque j'explicite le résultat de Maple, j'obtiens ça :


Apparemment, il s'agit de transformer l'intégrale simple en intégrale double.
Peut être avec la formule de Green Riemann

ps : Romain-des-Bois >> ok, je vais regarder


@++

[invite4ef352d8]

Salut !


tu as bien remarqué qu'il fallait calculer l'intégral de exp(exp(i*t))

et pour faire cela on décompose le premier exp en series entière :

exp(exp(i*t)) = somme des exp(i*k*t)/k!

apres tu permutte la somme et l'intégral (convergence normale) , et tu intégre termes a termes. et c'est finit !

[invitea87a1dd7]

Ok ca marche !!
Effectivement c'était quand même beaucoup plus simple !

Seul le terme pour k=0 reste

Merci !

[invitea87a1dd7]

edit : il manque le factoriel k dans la série entière